Convergence p.p
Bonjour,
on a la suite $f_j$ définie par $$
f_j(x)
=
\begin{cases}
\ln|x| &: |x| > \tfrac{1}{j}\\
- \ln j &: |x| \leq \tfrac{1}{j}.
\end{cases}
$$ On souhaite étudier la convergence presque partout de $f_j$.
Soit $x$ fixé dans $\R$ et on calcule $\lim_{j \to +\infty} f_j(x)$. Mon problème est lorsque $|x| \leq 1/j$ alors $f_j(x)=- \ln j$ qui tend vers $-\infty$. Qu'est-ce qu'on dit dans ce cas ?
Cordialement.
on a la suite $f_j$ définie par $$
f_j(x)
=
\begin{cases}
\ln|x| &: |x| > \tfrac{1}{j}\\
- \ln j &: |x| \leq \tfrac{1}{j}.
\end{cases}
$$ On souhaite étudier la convergence presque partout de $f_j$.
Soit $x$ fixé dans $\R$ et on calcule $\lim_{j \to +\infty} f_j(x)$. Mon problème est lorsque $|x| \leq 1/j$ alors $f_j(x)=- \ln j$ qui tend vers $-\infty$. Qu'est-ce qu'on dit dans ce cas ?
Cordialement.
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Réponses
Si \(\lvert x \rvert \leqslant 1/j\), je ne vois pas bien comment \(j\) peut tendre vers\(+\infty\) (passe à la limite dans l'inégalité pour voir…).
Dès que tu fixes \(x\), tu as tout intérêt à tronquer la suite de terme général \(f_j(x)\) au rang \(\lfloor 1/\lvert x\rvert\rfloor\) pour bien comprendre le comportement de la suite.
donc il faut redéfinir la suite quand $j \to +\infty$ ? Expliquez-moi s'il vous plaît comment on fait.
Je considère \(x=1/4\). Quelles sont les valeurs de\(f_j(x)\) ?
$$
f_j(x)
=
\begin{cases}
\ln|x| &:j > \dfrac{1}{|x|}\\
- \ln j &: j \leq |x|
\end{cases}
$$
Mais quand $j \to +\infty$ comment on raisonne? Puisque $x$ est fixé?
Si tu explicitais la suite \(j\mapsto f_j(1/4)\) comme je j'ai suggéré, tu comprendrais immédiatement comment fonctionne cette suite.
à partir d'un certain rang $j_0$ on a $\forall j \geq j_0: f_j(x)= \ln|x|$. Donc la convergence simple est vers $f(x)= \ln|x|$.
par quelle fonction $g \in L^1_{loc}(\R)$ on peut majorer $|f_j|$ pour tout $j$?
Cordialement
Qui est \(g\) ?
Comme la majoration est en valeur absolue, ce doit être: \(g(x)=\Bigl\lvert\ln\lvert x\rvert\Bigr\rvert\).