Limite supérieure
Réponses
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Bonsoir,
Il faut passer au $\ln$ quand on peut. Plus précisément :- Si $(x_n)$ et $(y_n)$ sont non nulles à partir d'un certain rang, on passe au $\ln$ et on utilise ii.
- Si $(y_n)$ s'annule une infinité de fois, alors $\liminf y_n=0$ et c'est bon.
- Si $(x_n)$ est nulle à partir d'un certain rang, alors $\limsup x_n = \limsup x_ny_n =0$ et c'est bon.
- Si ($x_n)$ s'annule une infinité de fois, mais pas à partir d'un certain rang, alors on pose $A=\{n\mid x_n=0\}$ et $(x_k'),(y_k')$ obtenues à partir de $(x_n),(y_n)$ en enlevant les termes $n\in A$. Alors $\limsup x_n = \limsup x_k'$, $\limsup x_ny_n =\limsup x_k'y_k'$ et $\liminf y_n\leqslant \liminf y_k'$. Donc c'est bon avec 1.
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Cette preuve me semble compliquée (à cause de la disjonction de cas), je vais regarder. Toutefois, je n'ai pas non plus réussi à montrer $\limsup(x_n)+\liminf(y_n)\leq\limsup(x_n+y_n)$.
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Bonjour,
\[\lim\inf(y_n) = -\lim\sup(-y_n)\ ?\] -
Oui, je suis d'accord avec cette égalité mais je ne vois pas comment l'utiliser :-)
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Le bon vieux truc : compliquer pour simplifier !
\[\boxed{a=a+b-b}\] -
Passe $\liminf y_n$ à droite de l'inégalité.
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supp
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Le soucis est que par ma faute, il y a deux inégalités à démontrer dans ce topic et hormis le message de side, je ne sais pas si les deux messages précédents font référence à $\limsup(x_n)+\liminf(y_n)\leq\limsup(x_n+y_n)$ ou $(\limsup(x_n))(\liminf(y_n))\leq\limsup(x_ny_n)$.
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C'est bon pour la somme.
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Je regarde pour le produit.
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Même méthode que pour la somme.
Si \(y_n\) est nul pour une infinité de valeur de \(n\), alors \(\lim \inf y_n\) est nulle et tout va bien ; sinon, on tronque la suite \(y_n\) pour se débarrasser des \(y_n\) nuls et on use de :
\[x_n = (x_ny_n).\frac{1}{y_n}.\] -
Avec le iv) j'arrive à une preuve du même type car modulo une disjonction de cas, $x_n=(x_ny_n)(1/y_n)$.
Oui en effet, je n'arrivais pas à justifier proprement le cas $y_n=0$, merci gb !
Sauf que j'aurais démontré le iv) avec le iii) :-(
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Bonjour!
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