Continuité uniforme

Une première bonne chose à faire est de te donner une idée de ce que la continuité uniforme signifie géométriquement sur la courbe de la fonction.

Ensuite : découpe $\mathbb{R}$ en trois parties, un gros intervalle centré en $0$, puis les deux morceaux infinis à droite et à gauche de cet intervalle. Tu devrais facilement pouvoir borner ta fonction sur chacun des trois morceaux (puisqu'elle est continue), et à partir de là ça ne devrait pas être trop dur de conclure.

Petite réponse à la va-vite, il faut sans doute affiner les bornes de sécurité abusives que j'ai utilisées.

Soit $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$.

On désigne par $\ell$ la limite de $f$ en $+\infty$ et $\ell'$ la limite de $f$ en $-\infty$.
Il existe $M>0$ tel que, si $x\leq -M$ alors $|f(x)-\ell'| \leq \varepsilon$, et $x\geq M$ alors $|f(x)-\ell| \leq \varepsilon$.

Par inégalité triangulaire, si $x$ et $y$ sont inférieurs à $-M-1$ et $|x-y|<1$ alors $|f(x)-f(y)| \leq 2\varepsilon$ par inégalité triangulaire.
De même si $x$ et $y$ sont supérieurs à $M+1$ et $|x-y|<1$, alors $|f(x)-f(y)| \leq 2\varepsilon$ par inégalité triangulaire.

Maintenant $f$ est continue sur le compact $[-M-2,M+2]$ donc uniformément continue sur $[-M-2,M+2]$ d'après le théorème de Heine. Donc il existe $\eta>0$ (et il est loisible de supposer que $\eta<1$) tel que : si $(x,y)\in [-M-2,M+2]^2$ et $|x-y|<\eta$, alors $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$.

Bon samedi Side
Peux-tu me dire ce que tu sous-entends par un probleme de recouvrement?

rakam la méthode de marsup est discuté ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,191839,191864#msg-191864
je ne trouve pas de probleme

Merci de ne pas tenir compte de ce qui suit ! Hors sujet !
@gebrane.
Il n'est jamais simple de prouver qu'une démonstration d'un résultat vrai est incorrecte! Je vais essayer de dire en quoi la démonstration proposée ne me plaît pas!

Soit $d$ une distance de $\R$ qui, prolongée à $\bar{\R}$ donne un espace compact. Cette distance est topologiquement équivalente à la distance usuelle de $\R$.

La continuité uniforme de $\tilde g$ restreinte à $\R$ s'écrit :
et on voudrait montrer

Implicitement il me semble (et j'aimerais qu'on me dise pourquoi mon impression n'est pas la bonne) qu'on utilise la relation : $d(f(\arctan x),f(\arctan y))<\eta\implies |f(\arctan x)-f(\arctan y)|<\varepsilon$ ce qui n'est pas prouvé (et même faux) !

Merci !
Mon message est complètement hors sujet, j'ai mélangé avec une autre démonstration qui est incorrecte.