Développement limité tangente hyperbolique
Bonjour,
Je souhaite déterminer le développement limité en $0$ à l'ordre 5 de la fonction $\tanh$ en utilisant la relation $\tanh'(x)=1-\tanh^2(x).$
J'ai écrit $\tanh(x) \sim x \implies \tanh^2(x) \sim x^2 \implies \tanh'(x)=1-x^2+o(x^2)$.
En intégrant je trouve : $\boxed{\tanh(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)}$.
Mais j'ai trouvé un développement limité à l'ordre 3 et non à l'ordre 5. Comment faire ? :-X
Je souhaite déterminer le développement limité en $0$ à l'ordre 5 de la fonction $\tanh$ en utilisant la relation $\tanh'(x)=1-\tanh^2(x).$
J'ai écrit $\tanh(x) \sim x \implies \tanh^2(x) \sim x^2 \implies \tanh'(x)=1-x^2+o(x^2)$.
En intégrant je trouve : $\boxed{\tanh(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)}$.
Mais j'ai trouvé un développement limité à l'ordre 3 et non à l'ordre 5. Comment faire ? :-X
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Réponses
Il te suffit d'itérer le processus:
\begin{align*}
\tanh x &= x \left(1-\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right) \\
\tanh^2x &= x^2 \left(1-\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)^2 = x^2 \left(1-\frac{2}{3}x^2+o(x^2)\right)
\end{align*}
Tu obtiens ainsi un dl à l'ordre 4 de \(\tanh'x\) et, par primitivation, un dl à l'ardre 5 de \(\tanh x\).
Et bien tu recommences avec $\tanh(x)=x-x^3/3+ o(x^3)$
Il reste alors à procéder par identification :
soit en écrivant $f'(x)=1-f^2(x)$ (les développements sont immédiats)
soit en écrivant $f'(x)=\dfrac1{\cosh^2(x)}$ par produit de développements limités.