Quotient de développements limités
Bonsoir,
Soit : $f(x)=x^{p_1} (a_{p_1}+a_{p_1+1} x + \cdots a_{n_1} x^{n_1-p_1} +o(x^{n_1-p_1}))$ et $g(x)=x^{p_2} (b_{p_2}+b_{p_2+1} x + \cdots b_{n_2} x^{n_2-p_1} +o(x^{n_2-p_2}))$
On suppose que $a_{p_1} \ne 0$ et $b_{p_2} \ne 0$ , $p_1 \leq n_1$ et $p_2 \leq n_2$.
Alors le quotient s'écrit $\dfrac{f(x)}{g(x)}=x^{p_1-p_2} \dfrac{a_{p_1}+a_{p_1+1} x + \cdots a_{n_1} x^{n_1-p_1} +o(x^{n_1-p_1})}{b_{p_2}+b_{p_2+1} x + \cdots b_{n_2} x^{n_2-p_1} +o(x^{n_2-p_2})}=x^{p_1-p_2} h(x)$
D'après une propriété du cours sur les quotients, on voit que la fonction $x \mapsto h(x)$ admet un développement limité à l'ordre $\min(n_1-p_1,n_2-p_2)$.
Je pense avoir compris cette remarque. On prend le min pour avoir le même ordre au numérateur et au dénominateur et appliquer le cours.
La suite par contre je bloque :
1/ De plus le terme constant du développement limité de la fonction $h$ vaut $\dfrac{a_{p_1}}{b_{p_2}}$ donc est non nul.
2/ Par suite la fonction $\dfrac{f}{g}$ admet un développement limité si et seulement si $p_1-p_2 \in \N$.
Je n'ai pas compris comment obtenir les points 1 et 2.
Soit : $f(x)=x^{p_1} (a_{p_1}+a_{p_1+1} x + \cdots a_{n_1} x^{n_1-p_1} +o(x^{n_1-p_1}))$ et $g(x)=x^{p_2} (b_{p_2}+b_{p_2+1} x + \cdots b_{n_2} x^{n_2-p_1} +o(x^{n_2-p_2}))$
On suppose que $a_{p_1} \ne 0$ et $b_{p_2} \ne 0$ , $p_1 \leq n_1$ et $p_2 \leq n_2$.
Alors le quotient s'écrit $\dfrac{f(x)}{g(x)}=x^{p_1-p_2} \dfrac{a_{p_1}+a_{p_1+1} x + \cdots a_{n_1} x^{n_1-p_1} +o(x^{n_1-p_1})}{b_{p_2}+b_{p_2+1} x + \cdots b_{n_2} x^{n_2-p_1} +o(x^{n_2-p_2})}=x^{p_1-p_2} h(x)$
D'après une propriété du cours sur les quotients, on voit que la fonction $x \mapsto h(x)$ admet un développement limité à l'ordre $\min(n_1-p_1,n_2-p_2)$.
Je pense avoir compris cette remarque. On prend le min pour avoir le même ordre au numérateur et au dénominateur et appliquer le cours.
La suite par contre je bloque :
1/ De plus le terme constant du développement limité de la fonction $h$ vaut $\dfrac{a_{p_1}}{b_{p_2}}$ donc est non nul.
2/ Par suite la fonction $\dfrac{f}{g}$ admet un développement limité si et seulement si $p_1-p_2 \in \N$.
Je n'ai pas compris comment obtenir les points 1 et 2.
Réponses
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On écrit tout simplement
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}=x^{p_1-p_2} h(x)\quad(*)\]
avec :
\[h(x) = \frac{a_{p_1}+a_{p_1+1}x+\cdots+a_{n_1}x^{n_1-p_1}+o(x^{n_1-p_1})}{b_{p_2}+b_{p_2+1}x+\cdots+b_{n_2}x^{n_2-p_1}+o(x^{n_2-p_2})}.\]
La dernière expression permet de vérifier que \(h\) est de limite \(a_{p_1}/b_{p_2}\) en 0 ; cette valeur est donc le terme constant du dl de \(h\) au voisinage de 0.
Comme \(h\) est continue en 0, il résulte de (*) que, si \(p_1-p_2\) n'appartient pas à \(\mathbf{N}\), c.-à-d. si \(p_1-p_2\) est négatif, le quotient \(f/g\) est de limite infinie en 0 et n'admet donc pas de dl au voisinage de 0. -
D'accord merci.
Vous utilisez le résultat suivant :
($f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$) $\implies$ ($f$ est continue en $0$)
J'essaie de le montrer :
Supposons que : $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)$
Si $a_0 \ne 0$ alors $\lim_0 f =a_0$ et si $a_0=0$ alors $\lim_0 f=0$ dans tous les cas la limite est finie donc $f$ est continue en $0$. -
Quel intérêt de distinguer selon que $a_0$ est nul ou pas ?
La seule chose qui compte, c'est que chaque terme de la somme $a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$ (qui est $o(1)$ si $n=1$, $a_1x+o(x)$ si $n=1$, etc.) tend vers $0$, et donc la somme aussi. -
Oui vous avez raison.
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Bonjour!
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