Convergence uniforme d'une suite de fonctions

Bonjour,
Si $f(1)=0$ et $f$ est continue sans être $\mathcal{C}^1$, $f_n$ converge quand même uniformément vers $0$.
Edit : LaTeXisation

Hum, $f(x)=x$ si $0\leq x<1$ et $f(1)=0$ m'a l'air d'un contre-exemple à ta denière affirmation.

@epsilon0, quand tu corriges une erreur que quelqu'un a pointée (même si ce n'est qu'une faute de frappe), il est plus honnête de mettre un "édit: j'ai corrigé tel truc" que de corriger "en cachette". Et ça permet à d'éventuels futurs lecteurs de comprendre la discussion. Merci.

@gebrane, $x^n \ln x = x^{n-1} x\ln x$ et $ x\ln x$ est continue sur [0,1] (quand on la prolonge) et nulle en 1.

Réponse à : message d'epsilon0

D'ailleurs, il y a un problème dans ta CNS, @epsilon0. $f_n$ peut converger uniformément vers $0$ sans que $f$ soit bornée comme le montre $f=\ln$. Ce que tu as trouvé est une condition suffisante.
Edit : LaTeXisation

Je vais démontrer ce que j'ai affirmé ce matin : $f_n$ converge uniformément vers $0$ ssi $f(1)=0$, $f$ est continue en $1$ et il existe $n$ tel que $f_n$ est bornée sur $[0,1]$.
$\Leftarrow$ : Quitte à remplacer $f$ par une $f_n$ bornée, on peut supposer $f$ bornée. Soit $\varepsilon$. Soit $\delta$ associé à $\varepsilon$ pour la continuité en 1. $\|f_n\|_\infty \leqslant \max((1-\delta)^n \|f\|_\infty,\varepsilon)=\varepsilon$ pour $n$ assez grand.
$\Rightarrow$ : $\|f_n\|_\infty$ tendant vers 0, il est ultimement fini. Et si $f$ n'est pas continue en 1 avec $f(1)=0$, alors : $\exists \varepsilon,\forall n, \exists x>1/2^{1/n}, |f(x)|>\varepsilon$, donc $|f_n(x)|>\varepsilon/2$.

Montrons maintement : il existe $n$ tel que $f_n$ est bornée ssi il existe $n$ tel que $f(x) \underset{x\to0}{=} O(1/x^n)$ et pour tout $a>0$, $f$ est bornée sur $[a,1]$.
$\Rightarrow$ : Si $f_n$ est bornée, alors $f(x)= O(1/x^n)$ est clair et $\forall a>0, \|f\|_{\infty,[a,1]} \leqslant \|f_n\|_\infty /a^n<\infty$.
$\Leftarrow$ : Si $f(x)= O(1/x^n)$, alors il existe $a,M>0$ tel que $f(x) \leqslant M/x^n$ sur $]0,a]$. Donc $f_n$ est bornée sur $[0,a]$ et sur $[a,1]$.