C.N.S pour avoir une convergence uniforme

@Poirot, ce n'est pas suffisant. Considérons $f:x\mapsto \sqrt{1-x}$. Alors $(f_n^2)'(x) = \frac{d}{dx}(n^2 x^{2n} (1-x)) = n^2(2n x^{2n-1}-(2n+1)x^{2n})$, donc $\max f_n^2 = f_n^2(\frac{2n}{2n+1}) = n^2 (\frac{2n}{2n+1})^{2n} (1-\frac{2n}{2n+1}) = n^2 (1+\frac1{2n})^{-2n} \frac1{2n+1} \sim n e^{-1}/2$, d'où $\|f_n\|_\infty \to \infty$.
D'ailleurs, on ne suppose pas $f$ continue a priori, donc $f_n$ ne convergera pas non plus si $f$ diverge fortement en 0. Exemple : $f(x) = e^{1/x}$ prolongé comme on veut en 0.

Considérons $f:x\mapsto 1-x$ qui est dérivable en 0 et regardons si $f_n$ converge uniformément vers 0.
$\frac{d}{dx}(x^n(1-x)) = nx^{n-1}-(n+1)x^n$, donc $\max |f_n| = n(\frac{n}{n+1})^n (1-\frac{n}{n+1}) = n(1+\frac1n)^{-n} \frac1{n+1} \to e^{-1}$. La réponse est non.

Je vais supposer $f$ continue sur $[0,1]$ pour simplifier (même si bornée aurait amplement suffit mais il faut un peu modifier le raisonnement en remarquant au préalable que la convergence de la suite implique que $f(1)=0,$ de manière à produire une limite simple qui ne peut être que la fonction nulle).
Donc, dans la classe des fonctions continues, la CNS voulue est $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=0$ (on a nécessairement $f(1)=0$).

Comme $(f_{n})_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $0$ sur tout segment du type $[0,1-\varepsilon]$ où $\varepsilon>0,$ si cette suite de fonctions converge uniformément vers $g$ sur $[0,1],$ alors $g$ est nulle sur $[0,1]$ (car $g$ est continue sur $[0,1]$ comme limite uniforme de fonctions continues).

Ainsi, fixons $\varepsilon>0.$ Il existe alors $N\in \mathbb{N}$ tel que $\displaystyle \forall x\in [0,1],\mbox{ }\forall n\geq N,\mbox{ } \vert f_{n}(x) \vert \leq \varepsilon.$
Fixons $n\geq N.$ En particulier, on a : $\displaystyle \forall x\in[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n+1}],\mbox{ } nx^{n}\vert f(x)\vert =\vert f_{n}(x)\vert \leq \varepsilon.$
Ainsi, $\displaystyle \forall x\in[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n+1}],\mbox{ }\vert \frac{f(x)}{1-x}\vert \lesssim \varepsilon$ (vu que $x^{n}\geq (1-\frac{1}{n})^{n}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} e^{-1}$).
Comme l'union des segments de la forme $[1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n+1}]$ (pour $n$ assez grand) recouvre un voisinage de $1$ par la gauche, il vient effectivement que $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=0.$

Réciproquement, ceci découle de la remarque faite par Calli.

En fait, je crois que l'hypothèse intéressante est plutôt $f(x)=o\left((1-x)^{p}\right)$ car elle assez simple, probablement nécessaire (à vérifier), et elle peut être vérifiée même si $f$ est pas $p$ fois dérivable en 1 (par contre $f$ sera forcément dérivable en 1 de dérivée nulle). Je donnerai une preuve plus tard (si ce que j'avance est bien vrai).

supp