Pas de borne supérieure aux suites sommables

Bonjour,
Ça ne peut pas être exactement ça car, si $u_n = 1/n^2$, alors $\displaystyle\sum_{k\geqslant n} u_k =\Theta(1/n)$, donc $\displaystyle \frac{u_n}{\sum_{k\geqslant n} u_k} = \Theta(1/n)$ dont la série diverge.

Prenons $\displaystyle U_n = \sum_{k\geqslant n} u_k$ et $v_n = \displaystyle \frac{u_n}{\sqrt{U_n}}$ . Alors $\displaystyle \sum_{k=0}^n v_k = \sum_{k=0}^n \frac{u_k}{\sqrt{U_k}} \leqslant \sum_{k=0}^n \int_{U_{k+1}}^{U_k} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int_{U_{n+1}}^{U_0} \frac{dt}{\sqrt{t}} \longrightarrow \int_0^{U_0} \frac{dt}{\sqrt{t}}<\infty$.

Vous pensez peut-être à : si $\displaystyle\sum u_n$ diverge, alors $\displaystyle \sum \left( \frac{u_n}{\sum_{k\leqslant n} u_k}\right)$ diverge aussi (et en fait ces deux séries on toujours même nature).

Dans le "exercices d'analyse" de J.Lelong-Ferrand
soit $(u_n)$ une suite de réels positifs tendant vers 0
1) la série $\Sigma u_n$ étant supposée convergente on pose ,pour tout $n\in\N$
$R_n=\Sigma _{k=n}^\infty u_k$
Montrer que ,pour tout $\alpha \in ]0,1[$ la série de terme général $v_n=\frac{u_n}{R_n^\alpha}$est convergente ;et montrer que la série de teme général $w_n= \frac{u_n}{R_{n+1}}$ est divergente .
On utilisera la formule des accroissements fini pour comparer $v_n$ à $R_n^{1-\alpha}-R_{n+1}^{1-\alpha}
$ et $w_n $ à $\ln(\frac{R_n}{R_{n+1}})$

J'ai gardé les notations originelles et il y a une deuxième question pour les séries convergentes

Il y a eu en 1995 ou 1996 un sujet de concours de l'ISFA qui traitait en grande partie des résultats de ce type.
Mais je n'ai pas de version électronique de ce sujet, que l'on ne trouve pas sur le site de l'UPS en particulier.