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Analyse
Équivalent
OShine
December 2019
dans
Analyse
Bonjour
Je bloque pour déterminer un équivalent en 0 de $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x^3-1+\cos(x)}$
Réponses
gb
December 2019
Bonjour,
Un petit développement limité du numérateur, et un autre pour le dénominateur ?
OShine
December 2019
J'ai essayé mais je ne parviens pas à trouver une relation de la forme $f-g=o(g)$.
$\sqrt{1+x}-1=\dfrac{x}{2}+o(x)$
$\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \implies \cos(x)-1+x^3=-\dfrac{x^2}{2}+x^3+o(x^2)=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$
Je n'arrive pas à passer aux équivalent...
gb
December 2019
L'équivalent, c'est le premier terme du développement limité :
\begin{align*}
\sqrt{1+x}-1&=\frac x2+o(x)\mathop{\sim}_0\frac x2&
x^3-1+x\cos x&=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\mathop{\sim}_0-\frac{x^2}{2}
\end{align*}
OShine
December 2019
Merci j'avais oublié cette propriété.
En effet si $f(x)=x^p(a_p+a_{p+1}x+\cdots +a_n x^{n-p} + o(x^{n-p})$ au voisinage de $0$ avec $a_p \ne 0$ alors $f(x) \sim a_p x^p$.
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Réponses
Un petit développement limité du numérateur, et un autre pour le dénominateur ?
$\sqrt{1+x}-1=\dfrac{x}{2}+o(x)$
$\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \implies \cos(x)-1+x^3=-\dfrac{x^2}{2}+x^3+o(x^2)=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$
Je n'arrive pas à passer aux équivalent...
\begin{align*}
\sqrt{1+x}-1&=\frac x2+o(x)\mathop{\sim}_0\frac x2&
x^3-1+x\cos x&=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\mathop{\sim}_0-\frac{x^2}{2}
\end{align*}
En effet si $f(x)=x^p(a_p+a_{p+1}x+\cdots +a_n x^{n-p} + o(x^{n-p})$ au voisinage de $0$ avec $a_p \ne 0$ alors $f(x) \sim a_p x^p$.