Série de distributions

Par la notation $<\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{f_p'(t)},\phi>$, je sous-entends la distribution régulière associée à la fonction localement intégrable $\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{f_p'(t)}$ (cette fonction est bien définie puisqu'elle est limite uniforme de $S_n$) contre la fonction test $\phi$.

Quand j'écrivais $S_n'$, je pensais également à la distribution régulière associée à $S_n'$. On peut noter cette distribution $T_{S_n'}$, et là je sous-entendais le résultat suivant pour les distributions régulières : $T_{S_n}' = T_{S_n'}$.

En notant $T_f$ la distribution régulière associée à une fonction localement intégrable $f$, on a $$
T_{\sum_{p=-n}^{n}{f_p'(t)}} = T_{S_n'} = T_{S_n}' \overset{\mathcal{D}(\mathbb{R})'}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}} T_{S}' = T_{S'} = T_{(\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{f_p(t)})'} \overset{\textrm{ce que je souhaite}}{=} T_{(\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{f_p'(t)})},
$$ en justifiant :
la 1ère égalité car c'est une somme finie ;
la 2nde égalité par propriété d'une distribution régulière ;
la limite car on a $T_{S_n} \overset{\mathcal{D}(\mathbb{R})'}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}} T_{S}$, puis en utilisant la définition de la dérivée au sens des distributions ;
la 3ème égalité par propriété d'une distribution régulière ;
la 4ème égalité par définition.
Mais la 5ème égalité est fausse si $\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{f_p'(t)}$ diverge (au sens classique d'une série) ... ?

Qu'est-ce que vous sous-entendez par "manipulation sur les crochets" ? Utiliser la linéarité ?
Merci de votre aide.

Bonjour
Je définis $S$ comme la limite uniforme de $S_n$ au sens classique des fonctions.
Et je montre que $T_S$ (la distribution régulière associée à $S$) est limite au sens des distributions de $T_{S_n}$ (la distribution régulière associée à $S_n$, qui peut également être vue par linéarité comme la somme $\sum\limits_{p=-n}^{n}{T_{f_p}},$ où $T_{f_p}$ est la distribution régulière associée à $f_p$).

On a donc également convergence de $T_{S_n}'$ vers $T_S'$ au sens des distributions.
Je me rends compte que dans mon dernier post je n'ai pas le droit de dire que $T_S'= T_{S'}$ puisque rien ne me prouve que $S$ est dérivable (au sens des fonctions).
Néanmoins (je ne l'ai pas encore dit) mais les $f_p$ sont des fonctions dérivables (au sens classique) et je dispose donc des $f_p'$ (au sens classique).

Mon but est de montrer que $T_S' = T_{\sum _{p=-\infty}^{+\infty}{f_p'}} $. Mais peut-être y a-t-il une erreur dans mon raisonnement, et que ce qui peut être montré est plutôt $T_S'= \sum\limits_{p=-\infty}^{+\infty}{T_{f_p}'} $

Merci de vos remarques.
J'ai donc pour toute fonction test $\phi$
$$ <T_S', \phi> = \lim_{n\rightarrow+\infty} <T_{S_n}', \phi> = \lim_{n\rightarrow+\infty} <T_{\sum_{p=-n}^{n}{f_p'}}, \phi> = \lim_{n\rightarrow+\infty} <\sum_{p=-n}^{n}{T_{f_p}'}, \phi> \\ = \lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{p=-n}^{n}{<T_{f_p}', \phi>} = \sum_{p=-\infty}^{\infty}{<T_{f_p}', \phi>} \overset{(1)}{=} <\sum_{p=-\infty}^{\infty}{T_{f_p}'}, \phi> \overset{(2)}{=} <T_{\sum_{p=-\infty}^{\infty}{f_p'}}, \phi> $$
J'ai un doute pour les passages $(1)$ et $(2)$, c'est correct ?

Merci à vous.