Intégrale fonction étagée

topopot écrivait:

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$\epsilon=(\epsilon_k)_{1\leq k\leq n}$ avec $\forall k, \epsilon_k=1$ ?

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Impossible ! \(\epsilon\) est une variable muette (un symbole mutificatoire ?), pas \(k\): on fixe \(k\) et établit une égalité concernant l'ensemble \(A_k\).

Parmi les \(n\)-uplets \(\epsilon\), on prend en compte dans la réunion seulement ceux dont la \(k\)-ième coordonnée \(\epsilon_k\) vaut 1.

Je note \(\bar{A_k}\) le complémentaire de \(A_k\).

Je suppose \(n=3\), ce qui nous fait \(2^3\) ensembles \(_\epsilon\) :
\begin{align*}
B_{(1,1,1)} &= A_1 \cap A_2 \cap A_3 &
B_{(1,1,-1)} &= A_1 \cap A_2 \cap \bar{A_3} \\
B_{(1,-1,1)} &= A_1 \cap \bar{A_2} \cap A_3 &
B_{(1,-1,-1)} &= A_1 \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3} \\
B_{(-1,1,1)} &= \bar{A_1} \cap A_2 \cap A_3 &
B_{(-1,1,-1)} &= \bar{A_1} \cap A_2 \cap \bar{A_3} \\
B_{(-1,-1,1)} &= \bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap A_3 &
B_{(-1,-1,-1)} &= \bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3}

\end{align*} Si on veut exprimer \(A_2\) en fonction des \(B_\epsilon\), on n'utilise que les \(B_\epsilon\) pour lesquels \(\epsilon_2\) vaut 1, c.à-d. ceux qui font intervenir \(A_2\), et on laisse tomber les autres qui font intervenir \(\bar{A_2}\). Il faut te convaincre que tout élément appartient à un des \(B_\epsilon\).

Par distributivité de la réunion sur l'intersection :
\begin{align*}
\bigcup_{\epsilon \text{ t.q. } \epsilon_2=1} B_\epsilon &= B_{(1,1,1)} \cup B_{(1,1,-1)} \cup B_{(-1,1,1)} \cup B_{(-1,1,-1)} \\
&= A_2\cap\Bigl((A_1 \cap A_3) \cup (A_1 \cap\bar{A_3}) \cup (\bar{A_1} \cap A_3) \cup (\bar{A_1} \cap\bar{A_3})\Bigr) \\
&= A_2\cap\Bigl((A_1\cup\bar{A_1})\cap(A_3\cap\bar{A_3})\Bigr) \\
&= A_2

\end{align*} Le cas général n'est pas plus compliqué, il suffit de bien gérer les notations.

C'est un problème d'interversion des deux signes \(\sum\), c.-à-d. que l'on fait intervenir la commutativité de l'addition.

Je note : \[\delta_k(\epsilon) = \begin{cases} 1 & \text{si } \epsilon_k=1 \\ 0 & \text{si } \epsilon_k=-1 \end{cases}
\] ce qui me permet d'écrire, la première égalité venant de ce que les \(B_\epsilon\) sont deux à deux disjoints :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a_k\mathbf 1_{A_k} &= \sum_{k=1}^n a_k \left( \sum_{\epsilon,\epsilon_k=1}\mathbf 1_{B_{\epsilon}} \right) \\
&= \sum_{k=1}^n a_k \left( \sum_{\epsilon} \delta_k(\epsilon) \mathbf 1_{B_{\epsilon}} \right) \\
&= \sum_{k=1}^n \sum_{\epsilon} \Bigr( a_k \delta_k(\epsilon) \mathbf 1_{B_{\epsilon}} \Bigl) \\
&= \sum_{\epsilon} \left(\sum_{k=1}^n a_k \delta_k(\epsilon)\right) \mathbf 1_{B_{\epsilon}} \\
&= \sum_{\epsilon} \left(\sum_{k,\epsilon_k=1} a_k \right) \mathbf 1_{B_{\epsilon}}
\end{align*}