Bijection réciproque

abraha_11 · December 2019

Bonjour
Peut-on exprimer la bijection réciproque de la bijection : $$
\begin{array}{cccl}
f:& [0,1]&\longrightarrow& [1,n+1] \\
& x&\longmapsto&1+x+x^2+\cdots+x^n
\end{array}
$$ et merci infiniment.

OShine · December 2019

Bonjour.

Soit $y \in [|1,n+1|]$. Il s'agit de résoudre $1+x+x^2+\cdots x^n=y$

Or $1+x+x^2+\cdots x^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k$.

On remarque que $y=n+1 \Longleftrightarrow x=1$

Si $x \ne 1$ on peut écrire $1+x+x^2+\cdots x^n = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Il suffit de résoudre : $ \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}=y$.

gb · December 2019

M'enfin, ça sert à quoi que Galois se décarcasse !!…

reuns · December 2019

La question c'est si le polynôme $P_n(x,y)=\sum_{k\le n} x^k-y \in \C(y)[x]$ est solvable, si oui alors une racine $P_n(f_n^{-1}(y),y)=0$ peut-être exprimée en terme de racines $m$-èmes et de fonctions rationnelles, sinon alors il n'y a pas d'expression simple pour $f_n^{-1}$.

gb · December 2019

reuns écrivait:

La question c'est si le polynôme est solvable, …

S'il ne l'est pas, lui envoyer un huissier;

Fin de partie · December 2019

Qu'est-ce-qu'on entend par "exprimer"?

S $n\geq 1$ alors la fonction définie pour tout $x$ de $[0;1]$ par $\varphi_n(x)=1+x+...+x^n$ est strictement croissante (étudier le signe de sa fonction dérivée) Elle admet donc une fonction réciproque.

Bijection réciproque

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