Prolongement holomorphe

C'est une application du théorème de prolongement de Riemann. Tu peux le faire point par point du moment que tu sais $f$ est holomorphe et bornée au voisinage de ce point. Donc du moment que $S$ est un ensemble discret dans $U$ ça fonctionne (ça impose que $S$ soit au plus dénombrable par contre).

Regarde une primitive de $f$ (si $f$ est holomorphe sur $U$ sauf une droite il y a deux primitives qu'il est facile de recoller)
cette primitive est holomorphe sur $V$ où $f$ est holomorphe et par continuité elle est complexe-différentiable sur $\overline{V}$ et holomorphe sur $intérieur(\overline{V})$ donc $f$ aussi.

Il y a une condition géométrique précise (mais la formulation est difficile) sur l'ensemble en question pour qu'il soit "éliminable" : ceci s'appelle le problème de Painlevé dont la résolution récente (moins de 15 ans) est fondée sur un article de Xavier Tolsa (s'appuyant sur d'autres travaux de théorie géométrique de la mesure).

Pour les choses accessibles :

*Tu peux montrer facilement avec le théorème de Morera que si $f$ est continue et $f$ holomorphe sur un ensemble privée d 'une droite que $f$ est holomorphe.

**ll y a une condition rigolote énoncée dans le Rudin d'analyse fonctionnelle sous le nom de théorème de Radò (mais c'est très très loin du cas général qui t'intéresse).

Si tu veux aller plus loin :

***Le cas général s'appuie sur la notion de rectifiabilité, de mesure Alfhors-régulière (ici $1-$ régulière) et sur la bornitude d'opérateurs de Cauchy sur des courbes via le théorème $Tb$.
Tu peux lire (si tu es motivé), le livre de "survol" de Hervé Pajot : Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral (lectures notes-Springer LNM1799) ou te référer à une simplification récente d'un contre-exemple (sur le caractère éliminable de certains Cantor planaires purement non-rectifiables) due à Nazarov-Volberg (il faut un peu chercher sur Arxiv par contre, j'ai oublié la référence exacte...)