Résoudre une équation

Bonjour.

Et qu'as-tu fait ?
On voit que s'il y a une solution, x n'est pas n'importe quel réel (définition de la racine carrée).

Bon travail personnel.

Élever au carré , tu tomberas sur tes pieds
(x^2-x-5)(x^2+x-4)=0

J'aimerais bien un avis sur la démarche suivante, s'il vous plait.
En remarquant tout d'abord que si $x$ vérifie $x=\sqrt{x+5}$ alors $x$ est solution de l'équation, on obtient :
\begin{align*}
x^2-5=\sqrt{x+5}&\Longleftrightarrow x^2-x-5=\sqrt{x+5}-x \\
& \Longleftrightarrow (x-\sqrt{x+5})(x+\sqrt{x+5})=\sqrt{x+5}-x \\
&\Longleftrightarrow (x-\sqrt{x+5})(x+\sqrt{x+5}+1)=0.
\end{align*} Ce qui ramène la question à la résolution de deux équations de degré 2.
On trouve deux solutions l'une positive et l'autre inférieure à -1.
Merci d'avance.

bonsoir

ton équation implique double contrainte sur x :
le second membre suppose x supérieur ou égal à - 5 et le premier membre doit être positif ou nul

donc finalement $- 5 < x < - \sqrt{5}$ ou bien $x > \sqrt{5}$ (bornes admises)

ta factorisation est pertinente en tenant compte de cet intervalle de définition

ton premier facteur donne $x = \sqrt{x+5}$ soit $x² - x - 5 = 0$
et donc 1 seule racine acceptable $x = \frac{1+\sqrt{21}}{2}$

ton second facteur donne $x² +x - 4 = 0$ la racine positive ne convient pas
par contre la racine négative $x = \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$ convient

cordialement

OK? je n'avais juste pas donné tous les détails.

YvesM a dit: Connais-tu l’expression : y a pas besoin de tortiller du c...?
non je ne la connaissais pas.
Mais ne participant pas souvent au forum je n'ai pas encore compris son sens mathématique.

@YvesM : Je veux bien admettre que le niveau global des étudiants en maths baisse, et je suis même prêt à reconnaître que nahar n'a pas beaucoup détaillé ce qu'il annonçait... Mais tu exagères quand même énormément en disant que les équivalences proposées par nahar sont de niveau L3 !! On y utilise une soustraction (tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre), une identité remarquable, puis une factorisation une fois que le facteur commun est apparu. Tout cela est accessible en 3ème !

J'aurais préféré que le "x" soit introduit par un "Soit x un réel supérieur ou égal à -5." mais c'est la seule chose que je trouve mal justifiée.
En revanche, la résolution des deux équations finales demande un niveau un peu plus élevé puisqu'il faut au minimum connaître une méthode de résolution des équations du second degré.