Variation de la constante "discrète"

malavita
malavita
dans Analyse
Bonsoir
si l'on considère une suite $(u_n)$ vérifiant une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}-2u_n=3^n$ et que l'on désire déterminer une formule explicite pour cette suite, est-il possible d'adapter au cas discret la méthode la variation de la constante ? C'est-à-dire à partir de la suite géométrique de raison 2 ("solution du problème homogène") de trouver une formule explicite de $(u_n)$ ?
Bonne soirée.
F.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Dans ce cas particulier, suivi d'une somme télescopique, ça marche.
    Plus généralement, faut voir.

    Cordialement;

    Rescassol
  • gb
    gb
    Pour une relation de récurrence de la forme:
    \[u_{n+1} - au_n = b_n\]
    avec \(a\) non nul pour conserver quelque intérêt à la question, il suffit de diviser la relation de récurrence par \(a^{n+1}\) :
    \[\frac{u_{n+1}}{a^{n+1}} - \frac{u_n}{a^n} = \frac{b_n}{a^{n+1}}\]
    pour s'apercevoir que \(u_n/a^n\) est une somme partielle de la série de terme général \(b_n/a^{n+1}\) ; il faut bien évidemment régler le problème du premier terme de la série.
  • malavita
    malavita
    Ok,

    donc si on cherche une solution de la forme $u_n=v_na^n$, on obtient une relation de récurrence $v_{n+1}-v_n=\frac{b_n}{a^n}$. Ce qui est bien analogue à $k'(x)=\frac{b(x)}{e^{-ax}}$ pour une équation différentielle $y'+ay=b(x)$ ;-)

    Merci

    A+

    F.
  • gebrane
    gebrane
    Si le terme source est de la forme $a^n P(n)$, il y a une méthode générale !
    Les solutions de ta récurrence s'écrivent $u_n=v_n+w_n$ avec $v_n$ la solution générale de l"équation homogène et $w_n$ une solution particulière
    Dans ton cas on cherche une solution particulière de la forme $3^nC$
    Le 😄 Farceur


  • malavita
    malavita
    C'est amusant et guère étonnant, mais cette histoire de variation de la constante semble marcher pour les suites récurrents linéaires d'ordre quelconque.
    Si on considère par exemple une suite vérifiant $u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n=a$, on constate alors que $d_{n+1}(u)+2d_n(u)=a$, avec $d_n(u)=u_{n+1}-u_n$.
    Bref il semble que si une suite vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre $n$, la suite $d_n(u)$ vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre $n-1$.

    Bonne journée

    F.

    PS: dans l'exemple j'ai un peu triché en choisissant une suite, dont l'équation caractéristique possède 1 pour racine :-)
  • rakam
    rakam
    La sommation télescopique qui apparaît peut ou non donner une formule intéressante. C'est le même problème pour les équations différentielles où le calcul d'une primitive du fameux $\lambda'$ ne peut se faire avec les fonctions élémentaires.
    Dans le cas des équations différentielles on continue en prenant $\lambda(x)=\int_a^x\lambda'$ et on "traîne" l'intégrale dans le reste des calculs.
    Pour les suites on a le droit aussi de nommer $z_n=v_p+\sum_{p\leq k\leq n} (v_{k+1}-v_k)$ et de continuer.

    Il est exact qu'on peut faire la même démarche pour les récurrences d'ordre supérieur à 1.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    tu peux expliciter ta suite avec un tableau de la récurrence établi sur n - 1 lignes (en supposant $u_1$ connu)
    en pré-multipliant à chaque ligne par 2 soit :

    $u_n - 2 u_{n-1} =3^n$
    $2u_{n-1} - 2^2.u_{n-2} =2.3^{n-1}$
    $2^2.u_{n-2} - 2^3.u_{n-3}=2^2.3^{n-2}$
    ....................................................................
    $2^{n-2}.u_2 - 2^{n-1}.u_1=2^{n-2}.3^2$

    en faisant la somme par colonne des 2 membres, il reste :

    $u_n = 2^{n-1}.u_1 + 3^n[1+\frac{2}{3} + \frac{2²}{3²} + .........+(\frac{2}{3})^{n-2}]$

    l'expression avec le crochet est explicitable sous la forme $3^{n+1}(1 - (2/3)^{n-1})$

    d'où : $u_n = 3^{n+1} + 2^{n-1}(u_1 - 9)$

    cordialement
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