Série de Fourier

$f(x)= \ln |2\sin(x/2)|$ est $L^1[0,4\pi]$ et sa dérivée est $$f'(x) = vp( \frac{\cos(x/2)}{2\sin(x/2)} )= \lim_{y\to 0}\frac12( \frac{\cos((x+iy)/2)}{2\sin((x+iy)/2)}+\frac{\cos((x-iy)/2)}{2\sin((x-iy)/2)})$$
($vp$ pour valeur principale)

Les séries de Fourier de $\frac{\cos((x+iy)/2)}{2\sin((x+iy)/2)}$ et $\frac{\cos((x-iy)/2)}{2\sin((x-iy)/2)}$ se trouvent facilement en développant $\frac{1}{1-e^{ix\pm y}}$ en série géométrique.

La série de Fourier de $f'$ donne celle de $f-c_0$ où $c_0=\frac1{4\pi}\int_0^{4\pi} f(x)dx$.

De déjà vu https://math.stackexchange.com/questions/1070527/compute-the-fourier-coefficients-and-series-for-log-sinx