Raisonnement concernant le rayon convergence.
dans Analyse
Salut, j'aimerais partager avec vous un raisonnement que j'ai fait pour déterminer un rayon de convergence, et dites-moi s'il est juste ou pas s'il vous plaît.
Il s'agit de R le rayon de convergence de la série entière suivante. $$
\sum \Big(\frac{\phi(n)}{n}\Big)^n x^n ,$$ où $\phi(n)$ est l'indicatrice d'Euler.
Je commence par majorer $\big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n $ par $1$. Pour conclure que $R > 1$.
Puis montrer que $ \sum \big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n $ diverge, car $u_n = \big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n$ ne converge pas vers 0, en prenant la suite extraite $ u_p = \big(\frac{p-1}{p}\big)^p $ [qui] ne converge pas vers 0 (en indexant $p$ dans l'ensemble des nombres premiers).
Qu'en pensez-vous ?! (:D
Il s'agit de R le rayon de convergence de la série entière suivante. $$
\sum \Big(\frac{\phi(n)}{n}\Big)^n x^n ,$$ où $\phi(n)$ est l'indicatrice d'Euler.
Je commence par majorer $\big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n $ par $1$. Pour conclure que $R > 1$.
Puis montrer que $ \sum \big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n $ diverge, car $u_n = \big(\frac{\phi(n)}{n}\big)^n$ ne converge pas vers 0, en prenant la suite extraite $ u_p = \big(\frac{p-1}{p}\big)^p $ [qui] ne converge pas vers 0 (en indexant $p$ dans l'ensemble des nombres premiers).
Qu'en pensez-vous ?! (:D
Réponses
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OK, à un détail près : la majoration donne $R\ge1$ et pas $R>1$.
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Salut , je cherche de l'aide pour déterminer le rayon de convergence de la série suivante : $$ \sum \Big(\frac{n}{\phi(n)}\Big)^n x^n .
$$ Je parviens juste à le majorer par 1.
Merci.
[Restons dans la même discussion pour tous ces rayons de convergence. AD] -
Bonjour,
La formule de Hadamard ? -
$a_n=\frac{n}{\phi(n)}$ n'est pas borné donc le rayon de convergence de $\sum_n a_n^n z^n$ est nul.
$$\lim_{k\to \infty} \log \frac{ \prod_{p \le k} p}{\phi( \prod_{p \le k} p)}= \lim_{k\to \infty}-\sum_{p \le k} \log(1-p^{-1}) = \lim_{k\to \infty}\sum_{p \le k} p^{-1} + O(1))=+\infty$$ -
^Quel est le rayon de convergence de $\sum_n \frac{n}{\phi(n)} z^n$ ? (pas besoin du théorème de Mertens pour estimer précisément $\frac{n}{\phi(n)}$, on peut juste utiliser la multiplicativité et les valeurs pour $n=p^k$)
-
Salut , est-ce que tu peux dire plus de détails concernant ton second message ? ( je te remercie pour le premier . )
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Le théorème de Mertens donne le rayon de convergence de $\sum_n \frac{n}{\phi(n)} z^n$.
Mais on peut aussi le faire sans : si $f$ est multiplicative et $f(p^k)=f(p)$ et $\lim_{p \to \infty} f(p)= 1$ alors le rayon de convergence de $\sum_n f(n) z^n$ est ...
(une solution est de borner $z^n$ par la fonction multiplicative $g_z(n)=\prod_{p^k \| n} (z^p)^k$ puis de regarder le produit Eulérien de $\sum_n f(n)g_z(n)$)
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Bonjour!
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