Dérivation et monotonie
dans Analyse
Salut, on sait déjà ce résultat.
Soit $f$ une fonction continue dérivable sur un intervalle $I$, on suppose que pour tous $x\in I , \ f{'}(x) \geqslant 0 $ et on pose $A = \{ t \in I \mid f{'}(t) >0 \}$, alors si $A$ est d'intérieur vide, $f$ est strictement croissante.
Ce qui m’intéresse dans ce théorème est qu'il se peut parfois que $f'$ s'annule dans certain points sans que $f$ ne soit pas strictement monotone.
Ma question est dans le même domaine, s'il existe un $ (a,b) \in I^{2} $ tel que $f'(a) > 0$ et $f'(b) < 0 $, alors peut-on dire que $f$ est non injectif ? Ou [il] manque une condition et il y a un raisonnement similaire à celui du résultat ci- dessus.
Moi je dis directement que $f$ est non injective, car on suppose sans perte de généralité que $a<b $, si on traduit la limite de $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ à droite de $a$ est positif dans un voisinage à droite, alors on a $x> a$ et $f(x) > a$ et si on fait le même raisonnement pour la limite de $ \frac{f(x)-f(b)}{x-b} $ à gauche de $b$ qui est négatif et $x-b$ est négatif on déduit que $f(x) - f(b) > 0$ dans un voisinage de $b $, alors $x<b$ et $f(x) > f(b) $. Alors $f$ est continue et n'est pas strictement monotone; d'où $f$ n'est pas injectif !
Mon raisonnement contient des lacunes ou pas ?
Merci.
Soit $f$ une fonction continue dérivable sur un intervalle $I$, on suppose que pour tous $x\in I , \ f{'}(x) \geqslant 0 $ et on pose $A = \{ t \in I \mid f{'}(t) >0 \}$, alors si $A$ est d'intérieur vide, $f$ est strictement croissante.
Ce qui m’intéresse dans ce théorème est qu'il se peut parfois que $f'$ s'annule dans certain points sans que $f$ ne soit pas strictement monotone.
Ma question est dans le même domaine, s'il existe un $ (a,b) \in I^{2} $ tel que $f'(a) > 0$ et $f'(b) < 0 $, alors peut-on dire que $f$ est non injectif ? Ou [il] manque une condition et il y a un raisonnement similaire à celui du résultat ci- dessus.
Moi je dis directement que $f$ est non injective, car on suppose sans perte de généralité que $a<b $, si on traduit la limite de $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ à droite de $a$ est positif dans un voisinage à droite, alors on a $x> a$ et $f(x) > a$ et si on fait le même raisonnement pour la limite de $ \frac{f(x)-f(b)}{x-b} $ à gauche de $b$ qui est négatif et $x-b$ est négatif on déduit que $f(x) - f(b) > 0$ dans un voisinage de $b $, alors $x<b$ et $f(x) > f(b) $. Alors $f$ est continue et n'est pas strictement monotone; d'où $f$ n'est pas injectif !
Mon raisonnement contient des lacunes ou pas ?
Merci.
Réponses
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Si $f$ est croissante, la négation de $f$ est strictement croissante c'est $\exists b> a, f(a)=f(b)$ ce qui implique $f = f(a),f'=0$ sur $]a,b[$.
-
J'ai utilisé la négation de f est strictement croissante . non ?
-
Bonjour.
Je n'ai pas vu où.
Il y a un raisonnement à partir de a<b, f'(a)>0 et f'(b)<0, donc des hypothèses sur f'. Mais à part e le morceau de phrase "dans le même domaine" qui ne veut rien dire de précis, on ne sait pas quelles sont tes hypothèses sur f.
Peux-tu les reprendre en totalité, qu'on sache de quoi tu parles ?
Cordialement. -
Salut, oui f une fonction dérivable sur I et a et b deux points de I.
Autrement existe-t-il une fonction dérivable sur un intervalle I telle qu'il existe deux points a et b dans I, f'(a)>0 et f'(b) < 0 et pourtant f est injectif ? -
Je considère, dans \(\mathbf{R}^2\), le triangle:
\[T=\lbrace(x,y)\in I^2\mathbin{;}x<y\rbrace\]
qui est convexe donc connexe.
La fonction \(f\) est continue sur \(I\), donc la fonction \(\phi\) définie de \(T\) dans \(\mathbf{R}\) par :
\[\phi\colon (x,y) \mapsto \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\]
est continue. Il en résulte que \(\phi(T)\) est un connexe de \(\mathbf{R}\), c.-à-d. un intervalle.
Si \(f\) est injective :
\[(x,y)\in T \implies x\neq y \implies f(x) \neq f(y) \implies \phi(x,y) \neq 0\]
donc \(0\) n'appartient pas à l'intervalle \(\phi(T)\) : la fonction \(\phi\) est de signe strictment constant, ce qui signifie que \(f\) est strictement monontone et que \(f'\) est de signe constant.
Il est donc exclu qu'il puisse exister un couple \((a,b)\) d'éléments de \(I\) avec : \(f'(a)<0<f'(b)\). -
supp
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