De la rédaction d'une récurrence

Je pense que l'auteur de l'exercice de Chaurien avait l'idée suivante en tête :

Soit $f$ une fonction bornée de carré intégrable telle que $f''(t)+e^{-t^2}f(t)=\sin t$ pour tout $t\geqslant 1$. Alors $f'(t)$ est une primitive de $\sin t-e^{-t^2}f(t)$, donc est bornée. Soit $C$ tel que $|f'(t)|\leqslant C$ pour tout $t$. Soit $\epsilon>0$. Soit $s$ tel que $\int_s^\infty f^2 <\epsilon^2/(4C)$. Montrons que pour tout $t\geqslant s$ on a $|f(t)|<\epsilon$.

En effet, si on avait $f(t)\geqslant \epsilon$ alors on aurait $f(u)\geqslant \frac{\epsilon}{2}$ pour tout $u\in [t,t+\epsilon/(2C)]$ donc $\int_t^\infty f^2\geqslant \frac{\epsilon}{2C}\times \frac{\epsilon}{2}$, ce qui est une contradiction.

Ceci montre que $f$ tend bien vers $0$.

Bonjour.

Les dénigreurs en fanfare sont de bien méchantes gens, qui "mentent à leurs interlocuteurs". Tandis que l'honorable Foys est la Vérité Crucifiée, les machines à friser la salade en sont témoins. Mais cela n'est pas tout à fait certain, parce qu'il n'y a pas preuves probantes de l'existence des machines à friser la salade.

Et maintenant que nous avons récité les Saintes Sourates, il ne reste plus qu'à nous occuper du monde réel. Enseigner consiste à conduire (=éduquer) pour élever. Cela suppose de présenter certaines choses avant d'autres. Parfois pour des raisons d'enchaînement des concepts. Parfois parce qu'il faut développer certaines compétences et savoirs-faire chez un étudiant avant de pouvoir valablement lui présenter tel ou tel concept.

Quelques remarques pertinentes à ce sujet se trouvent dans Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint (Felix Klein)
https://ia800702.us.archive.org/4/items/elementarymathem032765mbp/elementarymathem032765mbp.pdf

Lorsque l'on veut étudier les polynômes de Bernstein, peu importe le caractère collectivisant ou non de la relation "x est un couple" et "x[1] est un entier" et "x[2] est un polynome de degré x[1] qui se calcule par application des règles que voici, que voilà". Les seules choses dont on a besoin est que la relation "n est un entier" soit collectivisante... et que $\N$ soit bien ordonné. Quant à l'existence (superfétatoire) de la suite $B\left(f\right)$ elle même, elle est assurée par le critère C62. Penser à porter un collier avec de l'ail contre les vampires, une invocation de C62 et un jeton de caddie.

Ensuite de quoi détailler les calculs et utiliser des séries génératrices pour obtenir $\mathrm{var}\left(\kappa\right)$ plutôt que d'utiliser une propriété d'additivité (etc) serait "une page d'astuces au lieu de cinq lignes basées sur des concepts". Pipeau de chez pipeau: une preuve doit être probante. Point à la ligne. Si l'on veut une preuve qui s'adresse à un plus grand nombre et non seulement à ceux ayant suivi/subi un cursus de proba, il ne faut pas hésiter à utiliser des moyens généralistes.

Mais si l'on veut une preuve qui soit conceptuelle en plus d'être probante, il suffit de tracer les graphes 94258 et d'invoquer $var(\kappa)=t(1-t)/n\leq1/4n$. Pas besoin d'en tartiner des mètres-carrés. Surtout pour donner l'impression d'ignorer que les majorants utiles en proba-stats sont (quasiment toujours) en $1/n$, ce qui impose la convergence... et qui impose aussi que cette convergence soit lente (l'écart-type est seulement en $\sqrt{1/n}$). Rule of thumb: dix fois plus précis coûte cent fois plus cher.

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Le discours religieux se reconnaît à sa manière de parler d'une chose en lui donnant un nom sans l'introduire et sans jamais prouver qu'elle existe alors même qu'elle n'a aucune manifestation physique. C'est ce qui se passe avec "Dieu", "les anges", ou "la suite de Fibonacci".

Prétendre que la suite de Fibonacci n'a aucune manifestation physique est amusant. Suggérer que l'existence de cette suite serait d'une nature comparable à celle de Dieu ou des anges est amusant. Les dieux (sans parler d'un éventuel axiome d'unicité) ont été successivement créés et utilisés comme drapeau à des fins politiques (with God on our side). La suite de Fibonacci, elle aussi, aurait été créée pour masquer de noirs desseins ! Quel beau canevas pour un roman. Il suffit juste de l'écrire.

Quant à raconter tout cela parce que l'honorable crucifié est mécontent de s'être planté! En faire des tonnes après coup avec \[ P\Big ( \left | \frac{ \sum_{k=1}^n X_k}{n}-\overline x \right | \leq \frac{\varepsilon}{\sqrt n}\Big ) \leq f(\varepsilon) \] ne change rien au fait qu'utiliser $\frac{\varepsilon}{ n}$ au lieu de $\frac{\varepsilon}{\sqrt n}$ au milieu non pas d'un calcul banal, mais au milieu d'un prêche sur l'art de raisonner correctement, est amusant.

Mais pas au point d'en conclure "louons $F_{37}$ pour nous fournir de quoi sourire jour après jour".

Cordialement, Pierre.