Convergence uniforme

Twisted_Fate
Twisted_Fate
dans Analyse
Salut
Soit $ \Sigma a_{n}$ une série numérique dont que l'on suppose convergente. Montrer que la série $ \Sigma a_{n}x^{n}$ converge uniformément sur $[0,1]$.
Est-ce que je peux avoir une petite aide ?

Réponses

  • aléa
    aléa
    On peut faire une transformation d'Abel.
  • marsup
    marsup
    aléa a écrit:
    On peut faire une transformation d'Abel.
    Oui, je crois d'ailleurs que le résultat demandé s'appelle littéralement "théorème d'Abel" ! ;-)
  • gebrane
    gebrane
    Ce n'est pas le théorème d'Abel ( c'est une conséquence) , lui est plus générale
    Le 😄 Farceur


  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Merci pour l'indication mais je n'ai pas su encore montrer la convergence uniforme ... Pouvez-vous m'aider encore ?
  • argon
    argon
    Bonjour

    Montre que la série converge normalement, et ceci impliquera la convergence uniforme.
  • Poirot
    Poirot
    M'enfin gebrane et _argon, on n'a supposé les $a_n$ positifs nulle part ! Il s'agit bien du théorème d'Abel.
  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    $ \sum \vert a_{n}x^{n} \vert\ = \sum_{n>0} \vert S_{n}(x^{n}-x^{n+1}) \vert\ $ avec $ S_{n}=\sum \limits_{i=0}^n a_i.$
    C'est ça la transformation ?
  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Ou je fais la transformation pour le reste de la série ?
  • gebrane
    gebrane
    Poirot
    Je ne disais pas n' importe quoi Théorème d'Abel
    le théorème ne se limite pas à [0,1]

    edit le lien ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.

    [Correction du lien. Quand il y a des ( ) dans le lien, il faut utiliser le 6ème bouton par la droite. AD]94142
    11.jpg 183.6K
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Je suis totalement perturbé , est-ce que quelqu'un peut me rédiger ça s'il vous plait ?!
  • side
    side
    supp
  • reuns
    reuns
    Si c'est le théorème d'Abel, que si $\sum_n a_n=A$ converge alors $\lim_{x\to 1} \sum_n a_n x^n=A$, puisque la série entière converge uniformément sur $[0,1-r]$, la continuité en $1$ est équivalent à la convergence uniforme sur $[0,1]$.

    La preuve c'est que $\sum_n a_n x^n=\sum_n (\sum_{m\le n} a_m) (x^n-x^{n+1}) = (1-x) \sum_n (A+o(1)) x^n = (1-x) (\frac{A}{1-x} + o(\frac1{1-x}) = A+o(1)$

    Pour $z$ complexe c'est $\sum_n a_n z^n= A+ o(\frac{1-z}{1-\Re(z)})$ d'où le fait que $\Im(1-z)/\Re(1-z)$ doit rester borné dans l'approche $z\to 1$.

    PS : ne montrez pas cette preuve à OShine ça va lui faire péter un cable.
  • aléa
    aléa
    Avant d'apprendre des théorèmes d'Abel, il faut apprendre la transformation d'Abel, ou intégration par parties discrète, qui consiste, face à une série de terme général $a_n b_n$, à la réécrire sous la forme
    $a_n b_n=(A'_n-A'_{n-1})b$ avec $A'_n=\sum_{k=0}^n a_k$
    ou
    $a_n b_n=(A_n-A_{n+1})$ avec $A_n=\sum_{k\ge n} a_k$, si la série est convergente.

    Avec des changements d'indice, les sommes consécutives de $a_n b_n$ (par exemple des sommes de Cauchy) se retrouvent comme des sommes de $A'_n b_n$ (ou $A_nb_n$) + des termes de bord.

    Il est important de savoir faire ça, sans erreur, avant d'invoquer les noms de grands anciens.
  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Merci Side.
    Sinon Aléa, peux-tu me donner un lien ou une référence où je peux trouver cette transformation ?
    Car je trouve juste la transformation de la somme partielle.
  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Dis Reuns s'il te plaît.
    Dans ton message, r est le rayon de convergence ?!
  • reuns
    reuns
    Non qu'est-ce qui te fait penser ça
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 35

AmadouGaBuZoMeuLucasRescassolSMIun_kiwi +29 Invités