Pour tout $\displaystyle a \geq 0, b\geq 0$, $\displaystyle a^7+b^7 \geq a^6+b^9.$
L'étude de la fonction $\displaystyle a \mapsto a^7-a^6+b^7-b^9$ montre un minimum en $\displaystyle 6/7$ et donc, pour tout $\displaystyle b \geq 0$, $\displaystyle b^7-b^9 -{6^6 \over 7^7} \geq 0.$
On en déduit que, pour tout $\displaystyle b \geq 0$, $\displaystyle b^7(1-b^2) \geq {6^6 \over 7^7} >0$ et donc :
$\bullet$ $\displaystyle 0 <b <1$,
$\bullet$ $\displaystyle b^7 \geq b^7(1-b^2) \geq {6^6 \over 7^7} $ : $\displaystyle b \geq {6^{6/7} \over 7}$, et
$\bullet$ $\displaystyle 1-b^2 \geq {6^6 \over 7^7} {1 \over b} \geq {6^6 \over 7^7} $ : $\displaystyle b \leq \sqrt{1-{6^6 \over 7^7} }.$
Pour tout $\displaystyle a \geq 0, b\geq 0$, l'étude de la fonction $\displaystyle a \mapsto a^9-a^6+b-b^7$ montre un minimum en $\displaystyle (2/3)^{1/3}$ qui vaut $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3}.$
Pour tout $b$ tel que $\displaystyle 0<b<1$, l'étude de la fonction $\displaystyle b\mapsto b-b^7 - {2^2 \over 3^3}$ montre un maximum dans $\displaystyle ]0,1[.$
On a :
$\bullet$ $\displaystyle b = {6^{6/7} \over 7}$ implique $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} = 0,45(8)>0$, et
$\bullet$ $\displaystyle b = \sqrt{1-{6^6 \over 7^7} }$ implique $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} = 0,0077(5)>0.$
On en déduit que, pour tout $a \geq 0, b \geq 0$ tels que $\displaystyle a^7+b^7 \geq a^6+b^9$ on a $\displaystyle b^7-b^9 -{6^6 \over 7^7} \geq 0$ et donc $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} \geq 0$ et donc $\displaystyle a^9-a^6+b-b^7 \geq 0.$
Réponses
Voici une solution par l'analyse.
Pour tout $\displaystyle a \geq 0, b\geq 0$, $\displaystyle a^7+b^7 \geq a^6+b^9.$
L'étude de la fonction $\displaystyle a \mapsto a^7-a^6+b^7-b^9$ montre un minimum en $\displaystyle 6/7$ et donc, pour tout $\displaystyle b \geq 0$, $\displaystyle b^7-b^9 -{6^6 \over 7^7} \geq 0.$
On en déduit que, pour tout $\displaystyle b \geq 0$, $\displaystyle b^7(1-b^2) \geq {6^6 \over 7^7} >0$ et donc :
$\bullet$ $\displaystyle 0 <b <1$,
$\bullet$ $\displaystyle b^7 \geq b^7(1-b^2) \geq {6^6 \over 7^7} $ : $\displaystyle b \geq {6^{6/7} \over 7}$, et
$\bullet$ $\displaystyle 1-b^2 \geq {6^6 \over 7^7} {1 \over b} \geq {6^6 \over 7^7} $ : $\displaystyle b \leq \sqrt{1-{6^6 \over 7^7} }.$
Pour tout $\displaystyle a \geq 0, b\geq 0$, l'étude de la fonction $\displaystyle a \mapsto a^9-a^6+b-b^7$ montre un minimum en $\displaystyle (2/3)^{1/3}$ qui vaut $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3}.$
Pour tout $b$ tel que $\displaystyle 0<b<1$, l'étude de la fonction $\displaystyle b\mapsto b-b^7 - {2^2 \over 3^3}$ montre un maximum dans $\displaystyle ]0,1[.$
On a :
$\bullet$ $\displaystyle b = {6^{6/7} \over 7}$ implique $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} = 0,45(8)>0$, et
$\bullet$ $\displaystyle b = \sqrt{1-{6^6 \over 7^7} }$ implique $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} = 0,0077(5)>0.$
On en déduit que, pour tout $a \geq 0, b \geq 0$ tels que $\displaystyle a^7+b^7 \geq a^6+b^9$ on a $\displaystyle b^7-b^9 -{6^6 \over 7^7} \geq 0$ et donc $\displaystyle b-b^7 - {2^2 \over 3^3} \geq 0$ et donc $\displaystyle a^9-a^6+b-b^7 \geq 0.$
Voilà !