Fonctions à variation bornée
En bossant sur les intégrales de Stieltjes, je suis tombé sur la notion de fonction à variation bornée.
L'article auquel je viens de faire référence mentionne qu'il y a équivalence entre fonction à variation bornée et fonction somme de deux fonctions monotones... sans rien expliquer davantage. Peut-être que c'est censé être trivial comme résultat, mais je ne vois pas trop comment démontrer ça. Je vais essayer ici, on verra bien ce qui bloque.
Je pense que la partie "facile" est de montrer qu'une somme de deux fonctions monotones est à variation bornée. Je pense qu'on peut même montrer directement qu'une fonction monotone est à variation bornée.
J'utilise les notations de l'article.
Supposons que $f$ soit monotone sur $T$.
Premier cas : $f$ est croissante. Alors pour une subdivision $\sigma = (x_0,...,x_n)$, on a $V(f,\sigma) \leqslant n \times d(f(x_0);f(x_n))$, mais ça, ça diverge. Même si l'on identifie $x_k$ tel que $d(f(x_{k-1});f(x_k)$ est maximal, et qu'on majore par $n \times d(f(x_{k-1});f(x_k)$, quand on prend le $\sup$ on finit avec une forme $\infty \times 0$... mais je ne vois pas comment majorer indépendamment de $n$.
Pour partir directement d'une fonction somme de deux fonctions monotones, je ne sais pas trop comment commencer, vu que ça m'a l'air plus compliqué que juste avec une fonction monotone, et que je n'y suis pas arrivé.
Pour l'autre sens, j'ai une idée visuelle des deux fonctions en question mais je n'arrive pas encore à l'écrire.
Un peu d'aide serait la bienvenue :-)
L'article auquel je viens de faire référence mentionne qu'il y a équivalence entre fonction à variation bornée et fonction somme de deux fonctions monotones... sans rien expliquer davantage. Peut-être que c'est censé être trivial comme résultat, mais je ne vois pas trop comment démontrer ça. Je vais essayer ici, on verra bien ce qui bloque.
Je pense que la partie "facile" est de montrer qu'une somme de deux fonctions monotones est à variation bornée. Je pense qu'on peut même montrer directement qu'une fonction monotone est à variation bornée.
J'utilise les notations de l'article.
Supposons que $f$ soit monotone sur $T$.
Premier cas : $f$ est croissante. Alors pour une subdivision $\sigma = (x_0,...,x_n)$, on a $V(f,\sigma) \leqslant n \times d(f(x_0);f(x_n))$, mais ça, ça diverge. Même si l'on identifie $x_k$ tel que $d(f(x_{k-1});f(x_k)$ est maximal, et qu'on majore par $n \times d(f(x_{k-1});f(x_k)$, quand on prend le $\sup$ on finit avec une forme $\infty \times 0$... mais je ne vois pas comment majorer indépendamment de $n$.
Pour partir directement d'une fonction somme de deux fonctions monotones, je ne sais pas trop comment commencer, vu que ça m'a l'air plus compliqué que juste avec une fonction monotone, et que je n'y suis pas arrivé.
Pour l'autre sens, j'ai une idée visuelle des deux fonctions en question mais je n'arrive pas encore à l'écrire.
Un peu d'aide serait la bienvenue :-)
Réponses
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Tu pourrais utiliser par exemple le fait que, si $f$ est à variations bornées sur $\left[ a,b \right]$, alors la fonction $f_1 : x \in \left[ a,b \right] \mapsto V_{[a,x]} (f)$ est croissante.
Pose alors $f_2 := f - f_1$ et montre que $f_2$ est croissante, en vérifiant que, pour tous $a \leqslant x < y \leqslant b$, $f_1(y) - f_1(x) \geqslant f(y) - f(x)$. -
Considérons les réels $f(x_0) \leq f(x_1) \leq \cdots \leq f(x_n)$. Vois-tu comment simplifier la somme $\sum_{i=1}^n |f(x_i)- f(x_{i-1})|$ ?
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Si tu connais le concept de mesures signées et de décomposition de Hahn d'une mesure signée, le résultat est rapide...
Mais, on peut y arriver en considérant $V_{a}^{x}(f)$ la variation totale de $f$ sur le segment $[a,x]$ (où $x\geq a$)... La décomposition de $f$ en différence de deux fonctions croissantes est alors facile à trouver. -
supp
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Je vais essayer de faire comme noix de totos a proposé.
Siméon : non, je ne vois pas du tout.
BobbyJoe : je préfère ne pas invoquer toute une usine à gaz quand ce n'est pas nécessaire, et apparemment ici ça ne l'est pas.
side : personnellement, j'ai du mal à voir pourquoi c'est censé être évident de remplacer $|f'|$ par la variation totale. Par contre, les quelques remarques à la fin de ton message sont intéressantes pour la culture. -
supp
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Non, mais ce qui est évident, par contre, c'est ce que dit Siméon : une fonction croissante est à variations bornées sur un segment.
Tant que ce point n'est pas éclairci, il ne faudrait pas s'aventurer à la suite, sauf à rajouter de la confusion à la confusion. -
Je crois que j'ai compris : si la fonction $f$ est croissante, chaque $f(x_k)- f(x_{k-1})$ est positif, donc on peut enlever les valeurs absolues, donc la somme devient télescopique, et il reste $f(x_n)-f(x_0)$ à la fin.
Quand je n'ai plus une valeur absolue, mais une distance $d$ quelconque (puisque j'ai voulu voir le cas général comme dans l'article), j'ai du mal à voir comment on trouverait un résultat analogue. Mais visiblement, je ne suis pas bien réveillé ce soir... -
Non, puisque la notion de fonction monotone n'a en général pas de sens quand l'espace d'arrivée est un espace métrique comme dans l'article Wikipedia.
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Toujours pas réveillé, moi... allez, je sors.
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Bon, pour résumer : déjà, je vais m'intéresser uniquement aux fonctions $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Pour les intégrales de Stieltjes, c'est suffisant.
- si $f$ est croissante, alors $V(f, \sigma) = f(x_n) - f(x_0)$. Du coup, si $f$ est bornée sur $I$ (donc aux bornes $\sup / \inf$ de $I$), c'est bon, elle sera à variation bornée.
J'ai juste une question à ce niveau-là... l'article Wikipédia dit qu'une fonction est à variation bornée si l'arc qu'elle définit est de longueur finie. Cependant, d'après ce que j'ai dit, la fonction arctangente devrait être à variation bornée (puisque sa variation totale sera égale à $\pi$) sur $\mathbb{R}$, mais elle définit un arc de longueur infinie... où est le hic ? Ne peut-on définir la notion de variation bornée uniquement si $f$ est définie sur un intervalle fini ?
- si $f$ est décroissante, ça marche pareil au signe près. -
Tu vois ça où pour la longueur d'arc finie ? Je ne trouve pas ça dans l'article Wikipedia de ton premier post.
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A la fin du paragraphe Définition : "On dit que $f$ est à variation bornée si cette borne supérieure $V_T(f)$ est finie, autrement dit si l'« arc » (non nécessairement continu) défini par $f$ est rectifiable au sens de Jordan."
Et rectifiable ça veut dire de longueur finie. -
La notion de variation d'une fonction est définie même si l'intervalle est infini. En revanche la propriété (variation bornées) $\implies$ (graphe rectifiable) ne marche que pour une fonction définie sur un intervalle borné.
D'ailleurs pour une fonction allant de $I$ dans $\R $ on peut majorer la longueur du graphe de $f$ par sa variation + la longueur de $I$. De façon plus ou moins surprenante on peut trouver des fonctions continues qui <<saturent>> cette inégalité, comme l'escalier de Cantor par exemple. -
Donc la fonction arctangente est bien à variation bornée.
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Bonjour!
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