Convergence d'une série

Twisted_Fate · December 2019

Salut. On considère la série $$ \sum \frac{(-1)^n \prod_{k=0}^{n-1}(\alpha - k)}{n!} , $$ avec $ \alpha $ un réel.
Monter que $ \alpha > 0$ implique que la série est convergente.
Montrer que $ \alpha < 0$ implique que la série est divergente.
Merci d'avance.

Dom · December 2019

Une remarque :
Que donne le critère spéciale des séries alternées pour le premier cas ?

Twisted_Fate · December 2019

Salut, il faut que deux termes successifs aient des signes différents. Non ?

marsup · December 2019

Oui, si $\alpha$ est négatif, il y a divergence grossière, déjà ! Ah non, pas tout à fait, pardon !! dans les deux cas, il faut Raabe-Duhamel !

Enfin, en tout cas, ça ressemble à Raabe-Duhamel.

(PS : c'est littéralement l'exemple de Wikipedia pour Raabe-Duhamel !)

Dom · December 2019

Oui, ou alors, quitte à dégager les premiers termes, il suffit d'avoir l'alternance à partir d'un certain rang (et la décroissance vers $0$ de la valeur absolue du terme générale).

L'alternance de signe est vérifiée, ici, dès que $k$ dépasse la partie entière de $\alpha$.

Twisted_Fate · December 2019

Merci Marsup.
Sinon Dom à partir d'un rang $n$ sera supérieur à $ \alpha $, d'où $ \alpha -n < 0 $, alors deux termes successifs n'auront pas le même signe. Ainsi je ne vois pas l'alternance des signes.

Titi le curieux · December 2019

Salut,
Je ne vois pas de critère spéciale des séries alternées, il n'y aurait pas le $(-1)^n$, ça marcherait pour le cas $\alpha>0$ pour $n$ plus grand que $\alpha$, mais là, ça ne va pas le faire (parce que $\alpha-n$ est négatif à partir d'un certain rang).
La série est absolument convergente si $\alpha>0$, sa valeur absolue est majorée par une série géométrique de raison inférieure à 1 (tu le démontres par une récurrence qui ne commence pas à 0, mais à un entier plus grand que $\alpha$).

Twisted_Fate · December 2019

Salut Marsup.
Oui vous avez raison ! je vous remercie pour l'aide. Par règle de Raabe-Duhamel j'obtiens exactement la comparaison de $ \alpha $ par rapport à $0$.
Sinon, vous [avez] aussi raison il n'y a pas de convergence grossière. (:D

Twisted_Fate · December 2019

Bonsoir Titi. Pouvez-vous me dire une idée concernant la majoration ? Y a tout un produit à majorer ...

Dom · December 2019

Houlala !
Pardon. J’ai dit une bêtise.
D’habitude on annonce « il est tard » ou un truc de ce genre.
Et bien non. Je ne me donne pas d’excuse.

Mais je file au lit quand même.

Titi le curieux · December 2019

Ce n'est pas moi qui jetterais la pierre, j'en dit beaucoup, des conneries (et j'utilise aussi l'excuse de la fatigue assez régulièrement) :-D.

Edit: D'ailleurs, j'en ai dit une, cette histoire de série géométrique ne fonctionne pas. Il est bien ce critère de Raabe-Duhamel.
Re-edit: Bon ben, maintenant, c'est un peu éventé, mais je ne vais pas tarder à filer au lit, moi aussi!

marsup · December 2019

Eh oui, mais ça, c'est ce qui arrive quand on ne lit pas assez son Gourdon d'analyse !

(moi, le mien, je l'ai retrouvé il y a deux jours et j'ai même posté une photo ! Il ne me reste plus qu'à le rebouquiner moi-même !)

(enfin, ce que je veux dire, c'est qu'il est facile de poser des questions difficiles quand on a son Gourdon, et que les autres, non !) 94246

reuns · December 2019

Sinon Twisted_Fate tu connais la série pour $(1-x)^\alpha$ ? C'est quoi la limite en $x\to 1$

Twisted_Fate · December 2019

c'est 0 . et comment exploiter ça ?

side · December 2019

supp

reuns · December 2019

C'est évident comment exploiter $\lim_{x\to 1} (1-x)^\alpha$

marsup · December 2019

Bah moi cette règle, je l'ai apprise en 2005-2006, et il faut croire que je m'en rappelais.

Sinon évidement, on passe simplement au log et on télescope, bien sûr tu as raison, side.

D'ailleurs le paragraphe du Gourdon de ce résultat s'appelle "quelques recettes", il ne faut pas trop le prendre au sérieux !

Le principal intérêt de cette règle c'est qu'elle est très ancienne : 2 siècles.