Égalité avec la constante d'Euler
Réponses
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CAPES 1988 : sujet ci-dessous (merci l'UPS) et corrigé de François Sauvageot.
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Je le démontre par
\begin{align*}
\sum _1^n \frac{1}{k} &=\int _0^1 \frac {1-(1-t)^n}{t} dt =\int _0^n \frac {1-(1-\frac{t}{n})^n}{t} dt \\
\sum _1^n \frac{1}{k}-\ln(n)&=\int _0^1 \frac {1-(1-\frac{t}{n})^n}{t} dt -\int_1^n\frac{ (1-\frac{t}{n})^n}{t} dt .
\end{align*} Il reste le calcul classique de passage à la limite infinie. -
Super ! Merci.
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(tu)
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J'ai plusieurs fois posé cet exercice, avec des questions intermédiaires bien sûr, en kholle en spé .Je ne sais plus dans quel livre je l'avais trouvé...
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Très joli, lale !
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A mon avis, la formule est encore plus "jolie" si on l'écrit
$\gamma=\int _0^1 \frac{1-e^{-t}-e^{\frac{-1}{t}}}{t} dt $ -
Ce serait quelle formule? A priori ça ne me dit rien ...
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bonjour
la formule donnée par Iale se démontre à l'aide des applications intégrales de la fonction Gamma
quant à la même identité demandée par Jandri avec cosinus à la place de exponentielle
elle se démontre avec la fonction cosinus intégral soit avec x différent de zéro
$Ci(x) = \int_{-oo}^x\frac{cost}{t}dt$ (la discontinuité en zéro est compensée dans l'intégration)
sachant que pour x >0 $\int_0^1\frac{1-cos(tx)}{t}dt = \gamma + lnx - Ci(x)$
il est aisé de calculer à l'aide des séries numériques l'intégrale B soit :
$B = \int_0^1\frac{1-cost}{t}dt=0,2398117....$
et pour x = 1 dans Ci(x) il vient l'intégrale numérique :
$\int_{-oo}^{1}\frac{cost}{t}dt = -\int_{0}^{1}\frac{1}{t}cos\frac{1}{t}dt = \gamma - B = 0,33740396....$
en sommant les intégrales en cosinus il vient :
$\int_0^1\frac{1-cost - cos\frac{1}{t}}{t}dt = \gamma$
cordialement -
C'est bien la formule $\gamma=\displaystyle\int _0^1 \frac{1-\cos(t)-\cos(\frac1t)}t dt$.
Je sais la démontrer mais pas aussi rapidement que la démonstration de lale pour la formule plus connue ! -
Il est clair que $\displaystyle \int_0^1\frac{1-\cos(tx)}{t}dt -\ln(x)+Ci(x)$ est une constante car sa dérivée est nulle,
mais pourquoi vaut elle $\gamma$ ?
Je ne sais pas le démontrer ... -
Comment fait-on pour appliquer le théorème de convergence dominée à l'expression : $$
\int_1^n\frac{ (1-\frac{t}{n})^n}{t}dt .
$$ Je n'arrive pas à dominer convenablement sur $[1;+\infty[$ :-S -
Bonjour,
$$\frac{ (1-\frac{t}{n})^n}{t} \leqslant (e^{-t/n})^n=e^{-t}$$ -
Oui $1+x \le \exp(x)$ pour $x\in\R$, et on prend $x = - \frac{t}{n}$, puis on élève à la puissance $n$ tant que $1-\frac{t}{n} \ge 0$ soit $t \le n$.
edit : oublié un signe $-$ -
Oui, c'est $1+x\leqslant e^x$ appliqué à $x=-t/n$.
Edit : doublon involontaire -
Ben $\big(1-\frac{t}{n}\big)^n \le \exp(-t)$ a la fâcheuse tendance à être faux pour $n$ pair, quand $t\to+\infty$.et si $t>n$ que fait-on ?
Le problème, c'est que l'élévation à la puissance $n$ paire n'est pas croissante, donc l'inégalité ne s'ensuit pas.
Par exemple, on a bien $1-\frac{t}{2} \le \exp\big(-\frac{t}{2}\big)$, mais au carré, il n'est pas vrai que $
\big(1-\frac{t}{2}\big)^2\le \exp^2\big(-\frac{t}{2}\big) = \exp(-t)$, par exemple pour $t=10$, on trouve à gauche $\big(1-\frac{10}{2}\big)^2 = (-4)^2 = 16$, ce qui n'est pas majoré par $\exp(-10)$. -
Encore faut-il savoir que c'est faux...:-)
Et pour $n$ impair aucun problème ? -
$f_n(t)=(1-\frac{t}{n})^n $ si $t<n$ et $f_n(t)=0$ si $t>n$
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Ma démonstration pour $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1-\cos(t)}{t}dt- \int_1^{+\infty} \dfrac{\cos(t)}{t}dt=\gamma$ utilise $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1-e^{-t}}{t}dt - \int_1^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t}dt= \gamma$.
J'introduis $f(x)=\displaystyle\int_0^1 e^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t}dt- \int_1^{+\infty} e^{-xt}\dfrac{\cos(t)}{t}dt$ définie pour $x\geq0$.
Avec $|1-\cos(t)|\leq t$ pour $t\geq0$ et $|\cos(t)|\leq t$ pour $t\geq1$ on montre que $|f(x)|\leq \dfrac1x$ donc $f$ a pour limite $0$ en $+\infty$.
En intégrant par parties $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{e^{(i-x)t}}{t}dt$ on montre que $f$ est continue sur $\R_+$.
Pour $x>0$ on calcule $f'(x)=-\displaystyle\int_0^1 e^{-xt}(1-\cos(t))dt+ \int_1^{+\infty} e^{-xt}\cos(t)dt=\dfrac{e^{-x}-1}x+\dfrac x{x^2+1}$.
Puis en intégrant : $f(x)=\displaystyle\int_1^x \dfrac{e^{-t}}{t}dt+\dfrac12\ln(\dfrac{1+x^2}{x^2})+C$. Avec la limite nulle de $f$ en $+\infty$ on obtient $C=-\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t}dt$.
Par continuité de $f$ en $0$ on obtient $f(0)=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1-e^{-t}}{t}dt - \int_1^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t}dt= \gamma$. -
Merci ,Jandri
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Bonjour!
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