Problème de calcul d'une intégrale

Le site en question dit aussi : 'Note that due to some simplifications, it might only be valid for parts of the function.'
Et si tu regardes les graphiques qui représentent la fonction et la primitive, tu dois constater que le résultat donné par le site est faux :
Ta fonction est positive, la primitive devrait donc être croissante, et ce n'est pas le cas.

Si le site avait renvoyé comme message:

File moi du blé pour avoir la bonne réponse

Tu aurais continué à penser qu'il y a une "faille dans les mathématiques"?

Comme disent les informaticiens, la faille elle réside bien souvent entre l'ordinateur et la chaise. B-)-

$\sin(x)=\cos(\frac{\pi}{2}-x)$ et $\cos(2a)=....$, tu devrais t'en sortir en bricolant avec ces deux formules ;-)

A+

F.

Bonjour,

Sous forme d’exercice.

On pose $\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi} dx \sqrt{1+\sin x}.$

1. Montrer que $I$ existe.
2. Montrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto 1+\sin x$ est monotone sur $]-\pi/2,+\pi/2[$ et sur $]+\pi/2,3\pi/2[.$
3. Effectuer le changement de variables $\displaystyle x\leadsto u$ avec $\displaystyle 1+\sin x=u$. On évitera d’écrire des conneries grâce à la relation de Chasles avec coupure en $\pi/2.$
Que vaut sur chacun des intervalles la dérivée de la fonction $\displaystyle -2\sqrt{1-\sin x}$ ?
4. Calculer cette intégrale.
5. Vérifier qu’on trouve $4\sqrt{2}.$

$\sin(\pi-x)=\sin x,\ \sin(2\pi-x)=-\sin x.$

On a donc :
\begin{align}J&=\int_0^{2\pi}\sqrt{\sin\left(x\right)+1}\,dx\\
&=\int_0^\pi\sqrt{\sin\left(x\right)+1}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\sqrt{\sin\left(x\right)+1}\,dx\\
&=\int_0^\pi\sqrt{1+\sin\left(x\right)}\,dx+\int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin\left(x\right)}\,dx\\
&=2\int_0^\pi \frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin\left(x\right)}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}\,dx\\
&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin\left(x\right)}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}\,dx+2\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin\left(x\right)}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}\,dx\\
&=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin\left(x\right)}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}\,dx\\
&\overset{y=\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=8\int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx\\
&\overset{y=\frac{1-x}{1+x}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\int_0^1 \frac{1+x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}J+\frac{8}{\sqrt{2}}\int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx\\
&\overset{y=x^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}J+\frac{4}{\sqrt{2}}\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}\,dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}J-\frac{8}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{1+x}}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}J-4+\frac{8}{\sqrt{2}}\\
J&=\frac{\frac{8}{\sqrt{2}}-4}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
&=\boxed{4\sqrt{2}}

\end{align} NB.
On peut remplacer les trois changements de variable qui se suivent par un seul.
Mais pour ne pas donner l'impression que cela vient de nulle part, j'ai laissé les trois changements de variable.

Je propose un autre calcul, reposant sur la propriété qui dit qu'une fonction périodique a la même intégrale sur toutes ses périodes :

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\sin t}dt=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\cos (t-%
\frac{\pi }{2})}dt=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2\cos ^{2}(\frac{t}{2}-\frac{\pi }{4%
})}dt$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\left\vert \cos (\frac{t}{2}-\frac{\pi }{4}%
)\right\vert dt=2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\left\vert
\cos \theta \right\vert d\theta $
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle =2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left\vert \cos \theta
\right\vert d\theta =2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos
\theta d\theta =2\sqrt{2}\big[\sin \theta \big]_{\theta :=-\frac{\pi }{2}}^{\theta :=%
\frac{\pi }{2}}=4\sqrt{2}$.

On peut adapter ce calcul pour donner une expression de la primitive $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+\sin t}dt$, avec la fonction partie entière.

Bonne journée.
Fr. Ch.