Complexes et polynômes

Une recurrence pour l'existence du polynôme vous paraît judicieuse ?

Ok merci. Je tente une récurrence double.

Au rang $n=1$ $f(z)=P_1(f(z))$ où $P_1=X$ qui est bien un polynôme de degré 1 et de coefficient dominant 1.
Au rang $n=2$ $f(z^2)=P_2(f(z))$ où $P_2=X^2-X$ qui est bien un polynôme de degré 2 et de coefficient dominant 1.

Supposons qu'au rang $n$ la propriété soit vraie. Notons $P_n(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ avec $a_n=1$.

$f(z^{n+1})=f(z) P_n (f(z))- P_{n-1} (f(z))$ d'après l'hypothèse de récurrence.

Donc $f(z^{n+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k f(z)^{k+1} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k f(z)^k$

Je bloque à ce stade...

Je n'ai pas compris comment on peut faire une récurrence simple alors qu'il y a dans la relation obtenue à la question 1 des puissances en $n+1$, $n$ et $n-1$.

Comment savez vous que $P_n$ et $P_{n-1}$ n'ont pas les mêmes coefficients ?

3/ Soit $n \in \N^*$. Montrer que le seul polynôme $Q$ vérifiant $\forall z \in \C^* \ f(z^n)=Q(f(z))$ est $P_n$.

4/ Soit $n \in \N^*$ et $k \in [|0,n-1|]$. On pose $z_k = \exp (\dfrac{(2k+1) i \pi}{2n})$.
Calculer $f(z_k ^n)$. Que peut-on en déduire ? Donner une expression des $P_n$.

Je bloque à la 3. Je ne vois pas comment montrer l'unicité.

Pour la 4 je trouve $f(z_k ^n)=2 \cos(k \pi+\dfrac{\pi}{2})=0$

D'après ce qui précède, $f(z_k)$ annule $P_n$ mais je ne vois pas quoi en déduire :-S Ni comment calculer $P_n$...

Merci Joyeux Noel à vous aussi.

$P_n(X)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} (X-z_k)$

Pour la 3 je n'ai pas compris.

On a $P_n(f(z))=Q(f(z))$ et après je ne vois pas.

5/ Montrer $(P_n(0))$ est une suite linéaire d'ordre 2. En déduire le coefficient constant de $P_n$

D'après ce qui précède : $P_{n+1}(X)-X P_n(X)+P_{n-1}(X)=0$ donc :
$P_{n+1}(0)+P_{n-1}(0)=0$.
L'équation caractéristique est $r^2+1=0$ et les racines sont $\pm i$.

Ainsi $P_n(0)=\lambda_1 i^n +\lambda_2 (-i)^n$ mais je ne vois pas comment trouver les constantes...

Mais quels sont les infinités de points dont vous parlez ? L'ensemble $\{f(z) , z \in \C \}$ ?

$\lambda=1$ car le coefficient dominant de $P_n$ vaut 1 ?

De quels termes initiaux parlez vous ? Je n'arrive pas à calculer $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

Ok merci !

J'avais trouvé $P_1(X)=X$ donc $\lambda_1 i - \lambda 2 i=0$ et $P_0(X)=2$ donc $\lambda_1 + \lambda_2=2$.

D'où $\lambda_1=\lambda_2$ et on en déduit : $\boxed{P_n(0)=i^n + (-i)^n}$

C'est juste ?

La suite est

Calculer $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})$

On sait que $P_n(0)=(-1)^n \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \exp (\dfrac{(2k+1)i \pi}{2n}) $

Je dirais que $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})=(-1)^n \Re(P_n(0))$

Merci.

$P_n(0)=i^n+(-i)^n=(-1)^n \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} f(z_k)=(-1)^n \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} 2 \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})$

Je trouve enfin que $\boxed{\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})=\dfrac{i^n+(-i)^n}{2^n}}$

La dernière question est déterminer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})=\Re( e^{\frac{i \pi}{2n}} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (e^{\frac{i \pi}{n})^k})$

Après de nombreux calculs je tombe sur $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos( \dfrac{(2k+1) \pi}{2n})=\Re(-i \sin (\dfrac{\pi}{2n})=0$

Je ne vois pas trop.

Je n'ai pas encore étudié le chapitre sur les polynômes donc peut être est-ce un résultat du cours ? J'ai juste quelques restes de ma prépa MPSI/MP y a des années mais je dois retravailler ce chapitre.

Je ne vois pas...

Je ne connais pas ce résultat pour l'instant.

Ok merci je verrai ça dans le chapitre sur les polynômes.