Continuité et dérivabilité

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

1/ Quel est l'ensemble de définition de $f : x \mapsto x^2 \sin (\dfrac{\pi}{x})$ ?
2/ Montrer que $f$ est prolongeable par continuité sur $\R$.
3/ Etudier la dérivabilité.

Je trouve $D=\R^{*}$ puis $\lim_0 f =0$. On pose donc $f(0)=0$.

Pour la dérivabilité $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=x \sin (\dfrac{\pi}{x})$ donc elle est dérivable sur $\R$.

Mais ça m'a l'air trop facile alors que c'est tiré d'un oral de Mines Ponts.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est correct.
  • Dom
    Dom
    Le « donc elle est dérivable sur $R$ » est trop rapide.
    Aussi on ne sait pas ce que tu fais.

    1) dire qu’elle est dérivable sur $R^*$.

    2) dire qu’on va voir en $0$
    Soit $x$ non nul.
    Là tu écris ton taux d’accroissement, ton égalité, puis tu démontres que ça a une limite en $0$.
    Et enfin : « donc dérivable en $0$ »

    Remarque : on parle du prolongement donc ce n’est plus tout à fait le $f$ du départ.
    Mais on n’épilogue rarement sur ce point, à l’usage...
  • reuns
    reuns
    Et $f(x)= o (x)$ c'est pareil que $f(0)=f'(0)=0$
  • OShine
    OShine
    Ok merci.

    On note $\tilde{f}=\begin{cases} x^2 \sin (\dfrac{\pi}{x}) \ \text{si} \ x \ne 0 \\ 0 \ \text{si} \ x=0 \end{cases} $

    On a $|x \sin (\dfrac{\pi}{x})| \leq |x|$ donc la limite en 0 du taux d'accroissement est nulle donc $f$ est dérivable en $0$.
  • Dom
    Dom
    On a « pour tout $x$ non nul » ...(oubli qui peut être qualifié de grave)

    Donc $\tilde{f}$ (typo $\tilde{}$) est dérivable en $0$ « et sur $R$ tout entier ».

    J’ai mis des guillemets sur ce qui manque.
  • OShine
    OShine
    OK merci
  • raoul.S
    raoul.S
    Remarque : je crois que l'intérêt de l'exercice est de voir que la dérivée de la fonction $f$ (ou son prolongement) n'est pas continue en $0$, mais étrangement ça ne fait pas partie des questions posées...
  • john_john
    john_john
    raoulS : je pense que c'était la question suivante, mais que le candidat n'est pas parvenu jusque-là (peut-être parce que, justement, il a cru définir $\tilde f\,'(0)$ comme limite de la dérivée). Je serine à mes élèves que les confusions de ce genre finissent mal (en général).
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas trop saisi la confusion possible.
    $f'(x)=2x \sin(\dfrac{\pi}{x})- \pi \cos(\dfrac{\pi}{x})$

    Montrons que $f'$ n'est pas continue en $0$.
    Considérons $x_n=\dfrac{\pi}{2n \pi} \longrightarrow 0$. On a $f'(x_n)=-\pi$
    Considérons $y_n=\dfrac{\pi}{(2n+1) \pi} \longrightarrow 0$ On a $f'(y_n)= \pi$.
    Ainsi $f'$ n'est pas continue en $0$.
  • darbouka
    darbouka
    Euh, la dérivée, ça ne serait pas plutôt: $f'(x)=2x \sin(\dfrac{\pi}{x})- \pi \cos(\dfrac{\pi}{x})$ ?
  • OShine
    OShine
    Merci j'ai corrigé les erreurs. C'est correct maintenant ?
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas compris la confusion dont faisait allusion John.
  • Dom
    Dom
    C’est plutôt une propriété fausse.
    Beaucoup d’étudiants pensent : c’est dérivable en $0$ et partout ailleurs donc « la formule de la dérivée passe à la limite en $0$ ».
    Ce qui est faux.

    Plus rigoureusement : il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n’est pas continue.

    Ou encore les fonctions dérivables ne sont pas toutes $C^1$.
  • john_john
    john_john
    Plus précisément, $f'(0)$ est la limite d'un taux d'accroissement et non pas la limite en $0$ de $f'(x)$ ; la confusion revient à ramener le premier problème au second.
  • OShine
    OShine
    Ah d'accord merci !
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