Équation différentielle
Bonjour
On note (E) l'équation différentielle $|x|y'+(1-x)y=x$
Montrer que (E) admet une unique solution sur $\R$.
Sur $\R^{+*}$ on a $y'+\dfrac{1}{x} y =2.$
Les solutions sont les fonctions $x \mapsto \dfrac{A}{x} +2$ avec $A \in \R$.
Sur $\R^{-*}$ on a $y'-\dfrac{1}{x} y =-2.$
Les solutions sont les fonctions $x \mapsto \dfrac{B}{x} -2$ avec $B \in \R$.
Et là je bloque pour montrer l'unicité de la solution sur $\R$.
On note (E) l'équation différentielle $|x|y'+(1-x)y=x$
Montrer que (E) admet une unique solution sur $\R$.
Sur $\R^{+*}$ on a $y'+\dfrac{1}{x} y =2.$
Les solutions sont les fonctions $x \mapsto \dfrac{A}{x} +2$ avec $A \in \R$.
Sur $\R^{-*}$ on a $y'-\dfrac{1}{x} y =-2.$
Les solutions sont les fonctions $x \mapsto \dfrac{B}{x} -2$ avec $B \in \R$.
Et là je bloque pour montrer l'unicité de la solution sur $\R$.
Réponses
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vraiment ?
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> Sur $\R^{+*}$ on a $y'+\dfrac{1}{x} y =2$
> Sur $\R^{-*}$ on a $y'-\dfrac{1}{x} y =-2$
quel rapport avec l'équation différentielle donnée??? -
Cela ne va pas (du tout) : la division par $x$ est complètement fantaisiste et les solutions données le sont tout autant.
Vérifions si la fonction constante égale à $2$ (obtenue pour $A=0$) est solution de $y'+y/x=2$. Comme $y'=0$, ça donne $y'+y/x=2/x$. Pour $x=1$ on a bien $y'+y/x=2$ mais on voudrait que cette égalité soit vraie pour tout $x$.
Il est vrai que pour $y(x)=A/x$, on a bien $y'(x)+y(x)/x=-A/x^2+A/x^2=0$. On peine à comprendre comment, en changeant $A$ par $B$, on pourrait obtenir une solution de l'équation $y'{\color{red}-}y/x=0$. -
Oui j'ai fait une grossière erreur de calcul je corrige. Ça me semblait trop facile !
Sur $\R^{+*}$ l'équation différentielle est $y'+\dfrac{1-x}{x} y=1$. L'équation homogène est $y'+\dfrac{1-x}{x}y=0$
Je trouve comme solution homogène $y_0(x)=A \dfrac{e^x}{x}$ avec $A \in \R$.
Je cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante et j'obtiens $A'(x)=x e^{-x}$. En faisant une intégration par partie je trouve $y_p(x)=e^{-x}(1-x)-1$.
Les solutions sur $\R^{+*}$ sont les fonctions $\boxed{x \mapsto A\dfrac{e^x}{x} +e^{-x}(1-x)-1}$ -
Il reste des erreurs de calcul.
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J'ai tout vérifié je ne trouve pas d'erreur de calcul. Êtes-vous sûr ?
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Utiliser A pour une constante et une fonction bravo !
$\lambda'(x) = x e^{-x}$
Donc $\lambda(x) = A - (x+1)e^{-x}$
D'où l'ensemble des solutions $y = (A - (x+1)e^{-x})e^x/x = Ae^x/x - (x+1)/x$ -
J'ai calculé $A(x)$ en fait et pas $y_p(x)$ petite erreur d'étourderie.
J'ai calculé l'unique primitive de $A$ qui s'annule en 0 et j'obtiens donc :
$y_p(x)=\dfrac{1-x}{x}-\dfrac{e^x}{x}$ et donc $y(x)=A \dfrac{e^x}{x}+\dfrac{1-x}{x}-\dfrac{e^x}{x}$
Enfin $\boxed{y(x)=(A-1)\dfrac{e^x}{x}+\dfrac{1-x}{x}}$ -
Toujours faux, j'ai donné la solution. Et on s'en fout de l'unique primitive qui s'annule en 0 donnes en une au pif et basta
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Ok merci j'ai fait une erreur dans l'intégration par partie je vais essayer de trouver les solutions sur $\R^{-*}$.
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Sur $\R^{-*}$ on a $y'-(\dfrac{1-x}{x})y=-1$
Je trouve $\boxed{y_0(x)=\lambda x e^{-x}}$
Par la méthode de variation de la constante : $\lambda'(x)x e^{-x}+\lambda(x)e^{-x}-\lambda(x) x e^{-x}-\lambda(x) e^{-x} + \lambda(x) x e^{-x}=-1$
Ce qui donne $\lambda'(x) x=-e^x$ et donc $\lambda'(x)=-\dfrac{e^x}{x}$
Je suis bloqué à ce stade... -
Ton y0 est faux
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Je ne comprends pas l'erreur, en notant $A(t)=\dfrac{1-t}{t}$
Le cours donne $y_0(x)= \lambda \exp \int A(t) dt$ comme ensemble de solutions.
On a $y_0(x)= \lambda \exp \int (\frac{1}{t}-1) dt = \lambda \exp (\ln(x)-x)=\lambda \exp(\ln x) \exp(-x)=\lambda x \exp(-x)$ -
Ok ce n'est pas la même équation diff que sur R+ je n'avais pas vu l'énoncé complet. N’empêche (ça ne change rien au résultat final) qu'une primitive de 1/x n'est pas ln(x) sur R-... mais encore une fois ça ne va rien changer à la solution homogène.
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Ah d'accord oui une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est plutôt $\ln(-x)$ sur $\R^{-}$
Ce qui donne $y_0(x)=- \lambda x e^{-x}$.
Je bloque toujours pour trouver la solution particulière à $\lambda'(x)=\dfrac{e^x}{x}$. -
Je suis toujours bloqué pour trouver une solution particulière.
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Écris ta solution sous forme intégrale alors. Le but c'est de montrer qu'il existe une unique solution sur R, pas de l'expliciter. À toi de trouver les constantes d'intégration qui vont bien, c'est un peu plus compliqué je ne pense pas que tu vas y arriver.
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C'est un oral de Centrale Supelec en PC donc le niveau est forcément élevé. C'est pas CCP !
On a $\lambda(x)=\displaystyle\int_{1}^x \dfrac{e^t}{t} dt$
Donc les solutions sur $\R^{-*}$ sont les fonctions $y_2(x)=-Bxe^{-x} - (\displaystyle\int_{1}^x \dfrac{e^t}{t} dt) xe^{-x}$
Sur $\R^{+*}$ on avait $y_1(x)= A\dfrac{e^x}{x} - \dfrac{x+1}{x}$
Je voulais étudier la dérivabilité en 0 mais $y_1$ n'a pas l'air prolongeable par continuité en $0$ :-X
Par ailleurs je ne vois pas comment imposer $y(0)=0$ à $y_1$ ... -
Super idée de faire débuter l'intégrale à 1 !
Et l'énoncé il te dit qu'll existe une unique solution blabla donc y a qu'une constante à droite qui devrait fonctionner... -
Je ne peux pas la faire débuter à 0 la fonction n'est pas définie en 0.
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Y a que 1 et 0 dans la vie?
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$y_2(x)=-Bxe^{-x} - (\displaystyle\int_{B}^x \dfrac{e^t}{t} dt) xe^{-x}$ ?
Mais si $B$ est positif cela pose problème...
Je ne vois pas par ailleurs comment $y_1$ pourrait être dérivable en 0 alors qu'elle n'est même pas définie. -
My god. Tu dois commencer ton intégrale à un endroit où ta fonction est définie. Par exemple -17 :-)
Et non y1 est pas définie en 0. Le but c'est de construire une fonction définie sur R qui vale y1 pour R+. Il faut au moins que y1 ait une limite en 0... -
D'accord.
On a $y_2(0)=0$ en posant $y_2(x)=-Bxe^{-x} - (\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t} dt) xe^{-x}$
Pour $y_1$ même en imposant $A=0$ ce qui donne $y_1(x)=- \dfrac{x+1}{x}$ la fonction n'est pas continue en 0 donc je ne vois pas comment faire. -
Réfléchis un peu ! Il y a une valeur de $A$ qui fait qu'au lieu d'avoir une limite infinie tu as une forme indéterminée facile à résoudre !
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Et le -B que tu traînes... Juste pour info B est une constante quelconque, pourquoi mettre -B au lieu de B.... Ce sont des petits trucs que tu dois voir maintenant après 2 ans où tu bosses sur le programme de MPSI !
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Merci.
En prenant $A=1$ on obtient $y_1(x)= \dfrac{e^x-1-x}{x} $
Je viens d'étudier les développements limités alors utilisons les ! Au voisinage de 0 on sait que :
$e^x=1+x+o(x) \implies y_1(x)=o(1) \implies \lim\limits_{x \rightarrow 0} y_1(x)=0$
Étudions à présent la dérivabilité en 0 :
$y_2$ admet un développent limité à l'ordre 1 en 0 elle est donc dérivable en 0.
La fonction $x \mapsto Bxe^{-x}$ est dérivable en 0. Montrons que $f : x \mapsto (\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t} dt)xe^{-x}$ est dérivable en 0. On a $f'(x)=xe^{-x} (\dfrac{e^x}{x} +\dfrac{1}{e}) = 1+xe^{-x-1} $ et f' admet une limite finie. Donc $f$ est dérivable en $0$.
L'unique solution du problème est :
$y(x)= \begin{cases} \dfrac{e^x-1-x}{x} \text{si} x \leq 0 \\ xe^{-x}(B - (\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t} dt) \text{si} \ x \geq 0 \end{cases}$
Il y a une chose étrange je n'ai pas de condition sur $B$ ma solution n'est pas unique. -
@ O'Shine
Pour $x>0$, tu as trouvé : $ y_1(x)= \frac{Ae^x-1}{x} - 1$. Elle est prolongeable en $0$ pour une seule valeur de $A$, et ce prolongement est $\mathcal C^{\infty }$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
NB je répondais à un message précédent. -
Oula Comment tu dérives $f$ ::o
PS : pour que ta fonction soit vraiment dérivable en 0, faut qu'il y ait continuité en 0 et que les dérivées à gauche et à droite soient les mêmes, bref y a encore du taf. Déjà cherche la limite à gauche de $y_2$ -
Ok merci je vais manger et j'y réfléchis après.
Costaud cet exercice. -
C'est pas costaud toutes les opérations sont logiques y a une trame à suivre tu t'y tiens, c'est juste un peu technique. Bref un très bon oral Centrale
-
Pour $x<0$ je trouve aussi : $\displaystyle y_2(x)= Bxe^{-x} - xe^{-x} \int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t} dt $, où $B$ est une constante réelle arbitraire.
J'écris ça : $\displaystyle y_2(x)= Bxe^{-x} - xe^{-x} \int_{-1}^x \dfrac{e^t-1}{t} dt - xe^{-x} \int_{-1}^x \dfrac{dt}{t}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle =Bxe^{-x} - xe^{-x} \int_{-1}^x \dfrac{e^t-1}{t} dt - xe^{-x} \ln(-x) $.
Il me semble alors que cette fonction a toujours une limite nulle en $0^-$, donc un prolongement continu obtenu avec cette valeur-limite, quelle que soit la constante $B$, ce qui comme dit OShine contredit déjà l'unicité.
Mais plus grave il me semble aussi que ce prolongement continu n'est jamais dérivable en $0^-$, ce qui est bien embêtant pour une solution d'équation différentielle.
Ou alors il y a une erreur quelque part.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
La constante B peut être trouvée en disant que les dérivées à gauche et à droite sont les mêmes, par contre ouais ça semble jamais dérivable à gauche en 0. Bizarre
-
Je trouve :
$y_2'(x)=e^{-x} (B-\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt)+xe^{-x} (-B+\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt - \dfrac{e^x}{x}-\dfrac{1}{e})$
Comment calculez-vous la limite en $0$ de cette expression ? Ça change quoi qu'on soit à droite ou à gauche de 0 ? -
Voici le sujet.
-
Bah là pour le coup on est à gauche de 0... y2 est définie sur R- ...
Et tu calcules toujours mal la dérivée de y2
c'est quoi la dérivée de $\int_{-1}^x \frac{e^t}{t}dt$ -
c'est 0 (produit d'une fonction continue avec x*exp(-x))
-
Oui j'ai fait une erreur d'étourderie :
$\dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t} dt= \dfrac{e^x}{x}$ -
Donc :
$y_2'(x)=e^{-x} (B-\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt)+xe^{-x} (-B+\displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt - \dfrac{e^x}{x})$
Ce qui donne en développant :
$y_2'(x)=Be^{-x}-e^{-x} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt - Bxe^{-x} + xe^{-x} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt -1$
Et c'est là que ça se complique. -
Tous les termes ont une limite sauf (sauf erreur) le terme $e^{-x} \int_{-1}^x e^t/t dt$ qui est équivalent à $ln(-x)$ en 0 ...
-
La fonction $t \mapsto \dfrac{e^t-1}{t} $ se prolonge en une fonction continue sur $\mathbb R $ tout entier. La fonction $x \mapsto \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t-1}{t} dt$ est donc définie et $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R $ tout entier. Elle a donc quand $x \rightarrow0$ une limite finie $\displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{e^t-1}{t} dt=\int_{0}^1 \dfrac{1-e^{-u}}{u} du$, et l'on peut même préciser que c'est un réel strictement positif mais ça n'intervient pas ici. Etc.
Alors, on se dirige vers le diagnostic d'une erreur d'énoncé ? -
supp
-
Je ne pense pas que le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique ici car l'équation proposée n'est pas résolue en $y'$, comme on dit.
-
Merci.
Je n'ai pas vu le théorème de Cauchy Lipschitz il est au programme de MP je pense. Les formules de Taylor je connais.
En utilisant l'écriture astucieuse de Chaurien :
$e^{-x} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t}{t}dt=e^{-x} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{e^t-1}{t}dt + e^{-x} \displaystyle\int_{-1}^x \dfrac{1}{t}dt$
Et on en tire l'équivalent $\ln(-x)$ qui en 0- tend vers l'infini d'où la non dérivabilité en 0. -
supp
-
OK sûrement une erreur d'énoncé alors merci pour votre aide. J'ai quand même appris des choses.
-
supp
-
Je n'ai pas compris la première partie avec le $W$ mais je suppose que je n'ai pas encore le bagage pour comprendre.
Je vais continuer mon apprentissage avant de m'attaquer à ce genre d'exercice. Il m'avait paru accessible avec le programme d'analyse de SUP mais je me suis trompé. -
supp
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