Dérivée presque partout nulle

Riemann_lapins_cretins
Riemann_lapins_cretins
dans Analyse
Bonjour,

Un exo du Rudin demande de construire une fonction monotone sur R, de dérivée pp nulle mais constante nulle part.
En réfléchissant via les notions amenées par le chapitre, j'ai une construction implicite passant par Radon-Nikodym et la dérivation des mesures.

Cependant, ce n'est pas une construction explicite. Si quelqu'un a un exemple je prends. Je suis sûr que les questions du type "intégrale de la dérivée" ont suffisamment travaillé nos illustres ancêtres pour qu'il y en ait. En particulier pour ne pas utiliser les théorème bazooka de la théorie de l'intégration.
Merci d'avance !

Réponses

  • reuns
    reuns
    Ta fonction doit-être continue ou pas ?

    Si non regarde $\sum_{k\ge 0}\sum_{n\le 2^k} 2^{-2^k} 1_{x > n/2^k}$.

    Si oui prends la fonction de Cantor $c(x)$ sur $[0,1]$ étends la sur $\R$ par $c(-x)=0,c(1+x)=1$ puis regarde $\sum_{k\ge 0} \sum_{n\le 3^k} 2^{-2^k} c(3^k x-n/3)$
  • aléa
    aléa
    C'est l'escalier du diable (un nom qui se retient !)

    Ici, en extrait de "De l'intégration aux probabilités"
  • Tryss
    Tryss
    Sauf que l'escalier du diable n'est pas "constante nulle part" :-P
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    J'ai pensé à "charcuter le Cantor" mais ça fait trop pour avoir une fonction convenable je pense.

    Je vais examiner l'exemple de reuns, merci pour vos réponses !

    (Edit : non, rien de spécial n'est exigé sur la continuité de la fonction. Un exemple continu, s'il y en a, ce serait évidemment encore mieux)
  • Corto
    Corto
    Si tu prends une fonction du genre $x\mapsto \sum_{n \in \N} \frac{1}{2^n}\mathbf 1_{[0;q_n[}(x) $ où $(q_n)_n$ est une énumération des rationnels de $[0;1]$ tu obtiens bien une fonction comme tu le souhaites (ça se démontre justement avec Radon-Nikodym).

    Si tu veux une fonction continue tu peux prendre un escalier du diable un peu modifié ou bien la fonction ? de Minkowski parfois appelée "slippery devil's staircase".
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