Somme double

Le verbe « ensuivre » est pronominal et n'admet que la troisième personne : « il s'ensuit », etc.

Le résultat du calcul est faux aussi mais pas de beaucoup. As-tu calculé pour des petites valeurs de $n$ : $1$, $2$, $3$, $4$...

Le résultat est une expression simple qui ressemble à celle donnée dans le premier message.

(j'ai triché j'ai utilisé mon ami Wolfy pour faire le calcul. Je l'ai un peu aidé toutefois)

PS:
Il me semble que cela peut être utile de considérer les nombres harmoniques: $\displaystyle H_n=\sum_{k=1} \frac{1}{k}$

PS2:
Cet exercice me semble familier. N'a-t-il pas déjà été posté?

PS3:
La méthode préconisée par YvesM est la plus simple.
La difficulté (toute relative) est de de renverser l'ordre de sommation.
Il faut exprimer cette double somme sous la forme $\displaystyle \sum_{j=?}^? \left(\sum_{i=?}^{?} \frac{i}{j}\right)$
Après, cela coule de source.

En essayant de calculer ce truc je suis tombé sur ça:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+j*Harmonic(j),j=1,n

La somme cherchée est aussi égale à $\displaystyle \sum_{i=1}^n i\left(H_n-H_i\right)=\frac{1}{2}n(n+1)H_n-\sum_{i=1}^n i H_i$

1/4(n+1)(n-1) est sans doute mis pour $\displaystyle\frac{1}{4} (n+1) (n-1)$ .

Moi je rédigerais ainsi : soit $E_{n}=\{(i,j)\mid 1\leq i\leq n,\ i+1\leq j\leq n\}$, alors $E_{n}=\{(i,j)\mid 2\leq j\leq n,\ 1\leq i\leq j-1\}$.
Si l'on a une suite réelle ou complexe $(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{\ast }\times \mathbb{N}^{\ast }}$, et si $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{n}{\underset{j=i+1}{\sum }}a_{ij}$, alors $\displaystyle S_n=\underset{(i,j)\in E_{n}}{\sum }a_{ij}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}a_{ij}$
Si $a_{ij}=\frac{i}{j}$, il vient : $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{n}{\underset{j=i+1}{\sum }}
\frac{i}{j}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}\frac{i}{j}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\frac{1}{j}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}i=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\frac{j-1}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$.
Question supplémentaire : calculer $\displaystyle S_{n,p}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{p}{\underset{j=i+1}{\sum }}\frac{i}{j}$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.