Somme double
dans Analyse
Bonjour,
j'ai essayé, je trouve 1/4(n+1)(n-1). Mais je n'en suis pas sûr, qu'en pensez-vous ?
Merci. S_u
j'ai essayé, je trouve 1/4(n+1)(n-1). Mais je n'en suis pas sûr, qu'en pensez-vous ?
Merci. S_u
Réponses
-
Bonjour,
Ton résultat est faux puisqu’il on a par calcul direct $S_1=0$ et $S_2=1/2.$
Avec un tableau avec $i$ en colonne et $j$ en ligne pour $n =4$, je trouve, en sommant selon l’autre indice $\displaystyle S_n=\sum_{i =1...n} \sum_{j=i+1...n} a_{i j}=\sum_{j=2... n}\sum_{i =1...j-1} a_{i j}.$
L’application directe de $\displaystyle \sum_{p=1...m} p=p(p+1)/2$ donne le résultat.
Je te laisse chercher. -
Le résultat est une expression simple qui ressemble à celle donnée dans le premier message.
(j'ai triché j'ai utilisé mon ami Wolfy pour faire le calcul. Je l'ai un peu aidé toutefois)
PS:
Il me semble que cela peut être utile de considérer les nombres harmoniques: $\displaystyle H_n=\sum_{k=1} \frac{1}{k}$
PS2:
Cet exercice me semble familier. N'a-t-il pas déjà été posté?
PS3:
La méthode préconisée par YvesM est la plus simple.
La difficulté (toute relative) est de de renverser l'ordre de sommation.
Il faut exprimer cette double somme sous la forme $\displaystyle \sum_{j=?}^? \left(\sum_{i=?}^{?} \frac{i}{j}\right)$
Après, cela coule de source.
En essayant de calculer ce truc je suis tombé sur ça:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+j*Harmonic(j),j=1,n
La somme cherchée est aussi égale à $\displaystyle \sum_{i=1}^n i\left(H_n-H_i\right)=\frac{1}{2}n(n+1)H_n-\sum_{i=1}^n i H_i$ -
Ca doit être comme un réflexe : vérifier pour des valeurs très simples.
C'est un contrôle très facile à faire.
Ici, pour n=0, ton résultat donne -1, pour n=1, ton résultat donne une division par 0. Donc c'est sûr, il y a une erreur.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
1/4(n+1)(n-1) est sans doute mis pour $\displaystyle\frac{1}{4} (n+1) (n-1)$ .
-
Archimède:
Ce n'est cependant pas la bonne réponse.
Lourran:
Vu qu'on somme pour $i$ de $1$ à $n$, $n$ doit être un entier non nul. -
bonjour,
merci de vos aides, j'ai mal recopié j'ai trouvé, 1/4 en place et lieu de 1/2.
je n'ai pas utilisé le verbe s'ensuivre, je n'en suis pas sûr...je ne suis pas sûr de mon résultat ,utilisant le pronom personnel en
bonne journée. excuser mes faiblesses. S_U -
bonjour,
merci de vos conseil
j'ai mal recopiée trouve 1/2(n+1)(n-1) ?
merci bonne journée. S_U -
bonjour et merci,
en fait je trouve 1/2(n+1)(n-1). ?
bonne journée. S_U -
Simeon:
Ton résultat est incorrect. Tu peux facilement vérifier que c'est faux.
Il faut prendre garde que dans ta somme il y a une petite "bizarrerie".
l'indice $j$ peut prendre une valeur qui est plus grande que $n$. Ce qui veut dire qu'on annule le ou les termes de la double somme concernés.
PS:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+j*(Harmonic(n)-Harmonic(j)),j=1,n -
rererere bonjour,
je viens de refaire mes calculs, je trouve 1/4(n-1).n
Pourvu que j'aie juste merci.
S_U. -
Il y a un problème avec les indices dans tes sommes ! En effet, si $i = n$ alors $j = n +1$ or $j \leq n$. Je me permets donc de réécrire ta somme comme $$
S_n = \sum_{i = 1}^{n-1} \sum_{j = 1}^n \frac{i}{j} ,\qquad n \geq 2.
$$ Observe que toute les sommes de la forme $S_n' = \sum_{i = 1}^{n} f(i)$ (pour une fonction $f$) peuvent-être réécrites comme $\sum_{i = 1}^{n-1} f(i) + f(n) = S_{n-1}' + f(n)$.
En utilisant ceci tu devrais être capable de trouver $$
S_{n+1} = S_n + \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n+1}.
$$ En mettant $\frac{1}{n+1}$ en évidence et en se rappelant que $1 + 2 +\cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ tu obtiens $$ S_{n+1} = S_n + \frac{n}{2}, $$ avec $S_2 = 1/2.$
Comme $S_i - S_i = 0$ on peut écrire
\begin{align*}
S_{n+1} &= (S_{n+1} - S_n) + (S_n - S_{n-1}) + \cdots + (S_3 - S_2) + S_2 \\
&= \frac{n}{2} + \frac{n-1}{2} + \cdots + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{2} \frac{n(n+1)}{2} \\
&= \frac{n(n+1)}{4}.
\end{align*} Donc $\quad S_n = \dfrac{n(n-1)}{4}.$ -
J'ai donc trouvé juste, pardon Bonjour.
Je retiens et recopie votre méthode.
Je vous envoie celle que j'ai pratiquée, j'ai oublié n supérieur à 2.
Encore merci espérant ne pas vous avoir trop embêté.
Joyeuses fêtes.
S_U -
Bonjour,
Ton dernier message est correct. -
Bonsoir
merci, vous m"avez appris bien plus.
À une autre interrogation.
Simeon -
Bonjour,
Je viens de repérer une faute technique dans ton calcul.
Quand tu tombes sur $\displaystyle \sum_{j=2... n} (j-1)$, il est maladroit de calculer les deux sommes comme tu le fais. Il est adroit de changer d’indice. La règle est facile (à retenir et à démontrer) : on peut augmenter d’une unité l’indice dans la somme si l’on diminue d’une unité les bornes. Ici : $j-1$ devient $j$ et $2$ devient $1$ et $n$ devient $n -1$.
On a donc $\displaystyle \sum_{j=1...n-1} j=(n-1)n/2$ immédiatement. -
Moi je rédigerais ainsi : soit $E_{n}=\{(i,j)\mid 1\leq i\leq n,\ i+1\leq j\leq n\}$, alors $E_{n}=\{(i,j)\mid 2\leq j\leq n,\ 1\leq i\leq j-1\}$.
Si l'on a une suite réelle ou complexe $(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{\ast }\times \mathbb{N}^{\ast }}$, et si $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{n}{\underset{j=i+1}{\sum }}a_{ij}$, alors $\displaystyle S_n=\underset{(i,j)\in E_{n}}{\sum }a_{ij}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}a_{ij}$
Si $a_{ij}=\frac{i}{j}$, il vient : $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{n}{\underset{j=i+1}{\sum }}
\frac{i}{j}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}\frac{i}{j}=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\frac{1}{j}\overset{j-1}{\underset{i=1}{\sum }}i=\overset{n}{\underset{j=2}{\sum }}\frac{j-1}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$.
Question supplémentaire : calculer $\displaystyle S_{n,p}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\overset{p}{\underset{j=i+1}{\sum }}\frac{i}{j}$.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Bonjour,
merci je progresse gareze grâce à vous.
Joyeuse année 2020.
S_U -
bonsoir,
merci de votre rédaction ,je prends note. pour la question supplémentaire. ..... je respire un peu
joyeuse année 2020. S_U
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Bonjour!
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