Transformée de Laplace

supp

Pourquoi ne pas utiliser simplement la transformée inverse de Bromwich pour trouver $f$ ?

Bonjour
Inutile ici de vouloir appliquer la formule de Bromwich (car elle ne s'applique pas).
Si $F(z)=\exp(-z^2)$ est une transformée de Laplace, $f$ n'est pas une fonction au sens classique mais c'est une distribution.
On sait que $L(\delta^{(n)})(z)=z^n$, où $\delta^{(n)}$ est la dérivée $n$-ième de la mesure de Dirac $\delta.$

Puisque on a $\exp(-z^2)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{z^{2n}}{n!}$ alors formellement la fonction cherchée $f$ (disons plutôt la distribution $f$) est : $$

f:= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{\delta^{(2n)}}{n!}

$$ Mais il me semble bien que la suite $T_p= \sum_{n=0}^p (-1)^n \dfrac{\delta^{(2n)}}{n!}$ ne converge pas dans ${\cal S}'(\R).$ ( à vérifier ). Autrement dit $F(z)=\exp(-z^2)$ n'est pas la transformée de Laplace d'une distribution.

Bonjour

$S'(\R)$ est un espace très grand. Si la suite $T_p$ ne converge pas dans $S'(\R)$ rien ne dit qu'elle n'est pas convergente dans un espace encore plus grand comme par exemple un espace d'hyperfonction dans lequel la transformée de Laplace serait généralisée.

De toute façon, sans aller plus loin, pour répondre à la question $F(z)=\exp(-z^2)$ n'est pas la transformée de Laplace d'une distribution de $S'(\R)$ et a fortiori d'une fonction définie au sens classique.

Ton argument est faux bd2017, $e^{z^2}$ est une transformée de Laplace dans $S'(\R)$ pourtant $\sum_n \frac{\delta^{(2n)}}{n!}$ ne converge pas non-plus

(toutes les distributions sont localement d'ordre fini car sinon on peut construire $\phi_k\in C^\infty_c[a,b]$ dont les $k$ premières dérivées sont $\le 2^{-k}$ et telle que $\langle T,\phi_k \rangle =1$ donc $\sum_k \phi_k$ converge dans $C^\infty_c[a,b]$ et $\lim \langle T,\sum_{k\le K} \phi_k\rangle$ diverge)

$e^{-z^2}$ n'est pas une transformée de Laplace dans $S'(\R)$ parce qu'elle croit trop vite vers $+\infty$ pour être une distribution tempérée sur les axes verticaux (le signe est important, par exemple $(\sin(e^{x^2}))'$ est une distribution tempérée alors que son module croit aussi vite)

Le plus simple c'est de considérer $A$ l'ensemble des fonctions $L^1$ telles que $\hat{f}e^{x^2}\in L^1$ alors $U(f)=\mathcal{F}[\hat{f}e^{x^2}]$ est un opérateur de convolution $A\to L^1$ et $e^{x^2}$ est sa transformée de Fourier. Mais j'ai du mal à trouver une expression plus sympa pour $U(f)$, en terme d'une intégrale de contour. Par exemple $U(f)=\mathcal{F}[\hat{f}e^x]$ correspond à la fonctionnelle $\delta(x+i)$ telle que $f\ast \delta(x+i) = f(x+i)$, sur $A$ la fonction $f$ est entière et $f\to f(.+i)$ se représente par la formule intégrale de Cauchy.

Tu peux si tu régularises : pour $\phi \in C^\infty_c(\R)$, $\phi(x/m) \sum_n (-x^2)^n/ n! $ converge dans $S'(\R)$ et donc $\sum_n m\hat{\phi}(mx) \ast (-(ix)^2)^n \delta^{(2n)} / n!$ aussi