Matrice Hessienne et déterminant

TakeoJordan · December 2019

Bonjour à tous,
Je suis en bac+2 et j'étudie les fonctions à plusieurs variables, je ne comprends pas le lien logique entre le signe du déterminant de la matrice hessienne et l'existence d'un minimum/maximum. Je sais que le déterminant peut avoir un sens géométrique (transformation d'une aire par exemple :

mais je n'ai pas réussi à trouver le sens qu'il pouvait avoir dans l'analyse de fonctions à plusieurs variables. Quelqu'un saurait-il m'aiguiller ?

Merci et bonnes fêtes!

Benoit RIVET · December 2019

C'est très simple : La matrice Hessienne est symétrique, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Le déterminant est le produit des valeurs propres. Si tu connais le signe du déterminant, tu en déduis donc des informations sur les valeurs propres de la Hessienne.

side · December 2019

supp

TakeoJordan · December 2019

@Benoit RIVET. Merci de ces réponses, le déterminant n'est donc utile que parce qu'il donne une indication sur les signes des valeurs propres, il n'y a pas d'interprétation particulière à avoir concernant son rôle.

@side. Je comprends bien le raisonnement dans le cadre de l'analyse d'une fonction à une variable, cependant je ne comprends pas le premier ingrédient que vous me proposez de chercher ; si les Ai sont tous positifs alors f admet un minimum global en 0 (car tous les termes de son expression sont positifs en tout point) et réciproquement si ils sont tous négatifs alors f admet un minimum global en 0 (car tous les termes de son expression sont négatifs en tout point sauf en 0 car il n'y a pas de constante dans l'expression que vous donnez à f). Comment cela peut-il m'aider ?

En m'excusant de mon incompréhension et en vous remerciant de votre aide !

P. · December 2019

Pour les fonctions $f$ a $n$ variables telles que $f'(x_0)=0$ alors si la matrice hessienne $f''(x_0)$ est definie positive alors $x_0$ donne un minimum local strict. Si $-f''(x_0)$ est definie positive alors $x_0$ donne un maximum local strict. Tous les autres cas sont tres compliques si $n>2$.