Inégalité et suites
Bonjour
Soient $\alpha \in \R \setminus \Q$ et $Q \in \N^*$.
1/ Trouver $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tel que $1 \leq q <Q~$ et $~0<\big|\alpha-\dfrac{p}{q}\big| \leq \dfrac{1}{qQ}$.
2/ Trouver $(r_n)_{n \in \N} \in \Q^{\N}$ injective telle que $\forall n \in \N, \ r_n=\dfrac{p_n}{q_n}\ $ et $\ 0<\big|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\big| \leq \dfrac{1}{q_n ^2}$.
Je ne vois pas comment partir pour la question 1.
Soient $\alpha \in \R \setminus \Q$ et $Q \in \N^*$.
1/ Trouver $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tel que $1 \leq q <Q~$ et $~0<\big|\alpha-\dfrac{p}{q}\big| \leq \dfrac{1}{qQ}$.
2/ Trouver $(r_n)_{n \in \N} \in \Q^{\N}$ injective telle que $\forall n \in \N, \ r_n=\dfrac{p_n}{q_n}\ $ et $\ 0<\big|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\big| \leq \dfrac{1}{q_n ^2}$.
Je ne vois pas comment partir pour la question 1.
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Réponses
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Tout est dans ce lien c'est un classique. Par contre ça doit être encore une fois un exercie 2 étoiles de ton livre. Tu peux très bien perdre du temps et t'amuser à les faire mais je t'ai déja donné mon avis là dessus : ce n'est pas du tout adapté à tes besoins et à ton niveau
Perso je me rappelle j'étais en spé quand j'avais vu ça ...
Je ne comprends pas trop dans les démonstrations que je lis ou on utilise l'irrationalité de alpha.
$\alpha_k=k \alpha - E(k \alpha)$ avec $k \in [|0,Q|]$.
Je n'arrive pas à montrer que les $\alpha_k$ sont distincts 2 à deux et qu'ils sont au nombre de $Q+1$.
On a $\alpha_k \in [0,1[$.
Notons $\beta_0 < \beta_1 < \cdots \beta_n$ les $\alpha_k$ rangés par ordre croissant. Encore faut-il montrer qu'ils sont distincts non ?
Je ne comprends pas c'est où qu'on utilise l’irrationalité de $\alpha$.
Supposons par l'absurde que $\forall i \in [|1,Q-1|] \ \beta_{i+1}-\beta_i > \dfrac{1}{Q}$
En sommant on obtient $\beta_Q - \beta_0 > 1$ ce qui contredit le fait que $\beta_n - \beta_0 \leq 1-0$
Il existe $i \in [|1,Q-1|]$ tel que $\beta_{i+1}-\beta_i \leq \dfrac{1}{Q}$
Il existe 2 indices distincts $k,l \in [|1,Q|]$ tels que $0<k \alpha - E(k \alpha)-l \alpha -E(l \alpha) \leq \dfrac{1}{Q}$
Je prends $p=k-l$ et $q=E(k \alpha)-E(l \alpha)$.
Petit souci $p$ n'est pas dans $[|1,Q-1|]$ :-S
Pour $p$, on a $1 \leq l < k \leq Q$ et donc $1 \leq k-l \leq Q-1$.
On veut montrer $\alpha_k = \alpha_j \implies i=j$
On a : $(k-j) \alpha = \lfloor k\alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor$
Considérons par l'absurde $\alpha_k = \alpha_j$ et $i \ne j$
Comme $\alpha$ est irrationnel, le produit $(k-j) \alpha$ est irrationnel, ce qui est absurde car $ \lfloor k\alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor$
est entier.
Pour la question 2, je n'ai pas trop compris ce qu'il faut faire...
La question 2 je ne comprends pas trop ce qu'il faut faire.
Bon tu as obtenu un entier $q \in [1, Q-1]$ et un entier $p$ tels que $0 \leq q \alpha - p < \frac{1}{Q}$, c'est exactement ce que tu voulais non ?
Oui j'ai obtenu ce que je voulais pour la question une : il suffit de multiplier par $\dfrac{1}{q} >0$.
Pour la 2 je ne vois pas.
Je n'ai pas compris comment choisir $p_1$ et $q_1$ ?
Et l'inégalité $\frac{1}{Q} < |\alpha - \frac{p_1}{q_1}|$ je n'ai pas saisi pourquoi on veut ça.
Ok pour $p_1$ et $q_1$ j'ai compris !
Par contre, je n'ai pas compris votre technique pour s'assurer de l'injectivité.
On veut trouver $0<|\alpha-\dfrac{p_2}{q_2}|< \dfrac{1}{q_2}$
On veut une suite injective donc $r_2 \ne r_1$.
Et là je ne vois pas du tout comment trouver $r_2$.
Mais du coup on ne peut pas expliciter $p_2$ ni $q_2$ ?
Quant à la détermination d'une suite $(r_n)_n$ qui fonctionne, ça peut être fait à partir du développement en fraction continuée de $\alpha$, mais c'est une utre histoire...
Pour la première question je voulais la refaire en utilisant les tiroirs car je n'ai pas compris la démonstration de wikipédia.
Je pars de $\alpha_k= k \alpha - E(k \alpha) \in [0,1[$ avec $k \in [|0,Q|]$
Comment montrer que les $\alpha_k$ se répartissent dans $Q$ tiroirs ?
Remarquons que $[0,1[=\displaystyle\bigcup_{i \in [|0,Q-1|]} [\frac{i}{Q}, \frac{i+1}{Q}[$
Il existe un tiroir dans lequel on trouve 2 éléments $\alpha_k$ distincts.
Il existe $0 \leq n<m \leq Q$ et $i \in [|0,Q-1|]$ tels que $\alpha_n , \alpha_m \in [\frac{i}{Q}, \frac{i+1}{Q}[$
Ainsi $|\alpha_m-\alpha_n| \leq \dfrac{1}{Q} \Leftrightarrow |(m-n)\alpha + E(m \alpha)-E(n \alpha)| \leq \dfrac{1}{Q}$
On pose $q=m-n \in [|1,Q-1|]$ et $p=E(m \alpha)-E(n \alpha) \in \Z$.
$\alpha$ étant irrationel $|(m-n) \alpha + E(m \alpha)-E(n \alpha)| >0$ car $(m-n) \alpha$ est irrationnel.
Sujet clos.