Fourier et sinus cardinal
Bonjour
On me demande de calculer :$\displaystyle \lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{-A}^{A} \frac{\sin{kt}}{t} e^{ixt} dt,\ $ où $ k > 0,\ $ et pour $x$ réel.
Une idée j'imagine est de voir une "formule d'inversion" (avec de gros guillemets) et de voir notre "sinus cardinal" comme transformée de Fourier (au coefficient près) de $\mathbb{1}_{[-k,k]}$.
Le problème c'est que vu que l'intégrande n'est pas $L^{1}$ je n'ai qu'une convergence dans $L^{2}$ vers $\pi \mathbb{1}_{[-k,k]}$.
La convergence $L^{2}$ ne me permet pas mieux que de prêcher l'existence d'une suite $A_{n}$ de limite infinie telle que mon truc tende presque partout vers ce que je veux. Je dois être rouillé après un bon mois sans pratique mais je ne vois ni comment gérer le truc de la suite pour avoir une vraie limite en l'infini, ni passer de "pp" à "partout" (il faudrait une continuité par morceaux, mais je ne vois pas comment : pas de convergence dominée visible et à la main je bloque).
En fait tout bloque parce que je n'ai rien d'intégrable. Et je galère à gérer. En tentant une IPP (sans compter que 0 était dans l'intervalle donc c'était inutile en fait, et couper en morceaux me prive de Fourier) j'ai au moins pu entrevoir pourquoi la spécificité en $x=k$ ou $-k$ et l'indicatrice finale sort moins du ciel.
Merci à vous !
On me demande de calculer :$\displaystyle \lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{-A}^{A} \frac{\sin{kt}}{t} e^{ixt} dt,\ $ où $ k > 0,\ $ et pour $x$ réel.
Une idée j'imagine est de voir une "formule d'inversion" (avec de gros guillemets) et de voir notre "sinus cardinal" comme transformée de Fourier (au coefficient près) de $\mathbb{1}_{[-k,k]}$.
Le problème c'est que vu que l'intégrande n'est pas $L^{1}$ je n'ai qu'une convergence dans $L^{2}$ vers $\pi \mathbb{1}_{[-k,k]}$.
La convergence $L^{2}$ ne me permet pas mieux que de prêcher l'existence d'une suite $A_{n}$ de limite infinie telle que mon truc tende presque partout vers ce que je veux. Je dois être rouillé après un bon mois sans pratique mais je ne vois ni comment gérer le truc de la suite pour avoir une vraie limite en l'infini, ni passer de "pp" à "partout" (il faudrait une continuité par morceaux, mais je ne vois pas comment : pas de convergence dominée visible et à la main je bloque).
En fait tout bloque parce que je n'ai rien d'intégrable. Et je galère à gérer. En tentant une IPP (sans compter que 0 était dans l'intervalle donc c'était inutile en fait, et couper en morceaux me prive de Fourier) j'ai au moins pu entrevoir pourquoi la spécificité en $x=k$ ou $-k$ et l'indicatrice finale sort moins du ciel.
Merci à vous !
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Réponses
Ça te ramène après les bons changements de variable à des calculs de l'intégrale de $\cos(t)/t$ et $\sin(t)/t.$
L'autre manière que je vois est de dériver en $x$ pour faire dégager le $1/t$ sous l'intégrale puis de réintégrer en $x$.
Je n'ai pas essayé, mais si tu tentes le coup, il faudra expliquer pourquoi tu peux dériver sous l'intégrale.
$$\int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{ixt}dt = \int_r^s f(y)2A\frac{\sin(A(y-x))}{A(y-x)}dy=f(s)g(A(s-x))-f(r)g(A(r-x)) -\int_r^s f'(y)g(A(y-x))dy$$
où $g(x) = \int_{-\infty}^x \frac{2\sin(y)}{y}dy, g(-\infty)=0,g(\infty)=2\pi$ et en faisant $A\to \infty$ tu obtiens pour $x\ne r,s$
$$\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(t)e^{ixt}dt=f(s)2\pi 1_{s > x}-f(r)2\pi 1_{r > x}-\int_{[r,s]\cap [x,\infty[} 2\pi f'(y)dy=2\pi f(x)$$
Merci beaucoup à vous deux (et à fonction holomorphe mais j'attendais vraiment un argument Fourier) !