Équivalent d'une intégrale
Bonjour
Je cherche un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de l'intégrale suivante. $$
I_n=\int_1^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u^2} \left(1-\frac{1}{u} \right)^n \mathrm{d}u.
$$ On montre facilement avec le théorème de convergence dominée que $I_n$ tend vers $0$. Pour l'équivalent, j'ai essayé de couper l'intégrale en deux en $n$, $\sqrt n$, mais sans succès.
Merci d'avance pour vos suggestions et bonne année à tous ! B-)
Michal
Je cherche un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de l'intégrale suivante. $$
I_n=\int_1^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u^2} \left(1-\frac{1}{u} \right)^n \mathrm{d}u.
$$ On montre facilement avec le théorème de convergence dominée que $I_n$ tend vers $0$. Pour l'équivalent, j'ai essayé de couper l'intégrale en deux en $n$, $\sqrt n$, mais sans succès.
Merci d'avance pour vos suggestions et bonne année à tous ! B-)
Michal
Réponses
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Changement de variables ? J'ai essayé $x=(1-\frac{1}{u})^n$, il y a du $1/n$ qui "sort", mais après je patauge !
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Une piste, qui ne résout pas le problème, mais permet de simplifier un peu. On fait le changement de variable $t=-\ln\left(1-\frac{1}{u}\right)$. On a alors $I_n = \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-1/t}g(t)e^{-nt}dt$, où $g$ est une fonction avec une expression assez moche, mais qui reste une fonction assez gentille malgré tout : elle est $C^{\infty}$, bornée, avec $g(0) = e^{-1/2}$.
Comme cette dernière intégrale se concentre en $0$, on peut légitimement penser que $I_n \sim g(0) \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-1/t}e^{-nt}dt$, soit $I_n \sim e^{-1/2} \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-1/t} e^{-nt}dt$.
Plus qu'à le prouver proprement, et à étudier $J_n = \displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-1/t}e^{-nt}dt$ qui est un peu plus simple que l'intégrale de départ. -
Pour l'intégrale que j'ai notée $J_n$, maple dit qu'il s'agit de $\dfrac{2K_1(2\sqrt{n})}{\sqrt{n}}$, où $K_1$ est une fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce. Or, on trouve le développement asymptotique de $K_1$ sur wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Asymptotic_forms ) : $K_1(z) \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2z}} e^{-z}$. Ainsi, $J_n \sim \dfrac{\sqrt{\pi}}{n^{3/4}}e^{-2\sqrt{n}}$ et donc $I_n \sim \dfrac{e^{-1/2}\sqrt{\pi}}{n^{3/4}}e^{-2\sqrt{n}}$.
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Oui, pour me ramener de $I_n$ à $J_n$, je me suis inspiré de la méthode de Laplace. Le problème est qu'on arrive à $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-1/t}e^{-nt}dt$, et non pas quelque chose de la forme $\displaystyle \int_0^{+\infty}t^{\alpha}e^{-nt}dt$ comme dans une méthode de Laplace "classique". On ne peut donc pas conclure aussi facilement.
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Bonjour,
Bonne année à chacun des membres du forum.
J'espère que le texte suivant , dans lequel, pour ne pas trop alourdir le propos, j'ai passé sous silence de nombreux détails (que je crois avoir soigneusement vérifiés), est exempt d'erreurs de calcul et aboutit à l'équivalent demandé.
Une intégration par parties conduit d'abord à $I_n := \displaystyle \int _1^{+\infty} \dfrac{ \mathrm e^{-u}}{u^2}\left (1-\dfrac 1u \right)^n \mathrm du = \dfrac 1 {n+1} J_{n+1} \quad \:$ où $\quad \: J_n:= \displaystyle \int_1 ^{+\infty} \mathrm e^{-u} \left(1-\dfrac 1u \right)^n \mathrm du.$
Notons: $f_n: x \longmapsto \mathrm e^{-x}\left(1-\dfrac 1x\right)^n,\quad A_n =\displaystyle \int_{\sqrt n/2}^{2\sqrt n} f_n, \:\:\quad B_n = \displaystyle \int _1^{\sqrt n/2} f_n,\:\: \quad C_n = \int _{2\sqrt n } ^{+\infty} f_n.$
Avec $\forall t \in [\frac 12 ; 2],\: (1-\frac1{t\sqrt n})^n \underset {n\to + \infty} \sim \exp (-\frac {\sqrt n}t - \frac 1{2t^2}),$ on obtient: $$\quad A_n = \displaystyle \sqrt n \int _{\frac 12} ^2 \mathrm e^{-t\sqrt n} \left(1 - \frac 1{t\sqrt n} \right) ^n \mathrm dt \underset {n \to + \infty } \sim \sqrt n \int _{\frac 12}^2 \mathrm e ^{-1/2t^2} \mathrm e ^{-(t+\frac 1t) \sqrt n} \mathrm d t.$$
La fonction $t \longmapsto \mathrm e ^{-(t+ \frac 1t)}$ admet un maximum strict en $1$, et ainsi, l'équivalent $(\bigstar)$ produit par la "méthode de Laplace" nous mène à:
$$ \dfrac {A_n}{\sqrt n } \: \underset {n \to + \infty} \sim n^{-\frac 14}\: \sqrt {\pi}\: \mathrm e^{-\frac 12} \:\mathrm e ^{-2\sqrt n} \:\: \quad \text {puis à }\quad\:\: A_n \:\underset{n\to + \infty} \sim \:\:\sqrt {\pi}\: n ^{\frac 14} \: \mathrm e^{-\frac 12}\: \mathrm e ^{-2 \sqrt n }.\qquad (1)$$
D'autre part, $\:\:f_n$ est croissante sur $[1; \frac {\sqrt n }2]$ donc $\:\:0<B_n< \frac {\sqrt n}2 f_n \left (\frac {\sqrt n }2\right) < \frac {\sqrt n}2 \mathrm e^{- \frac 52 \sqrt n},\:\:$ ce qui entraine: $ B_n \underset {n \to + \infty} = o (A_n). \quad (2)$
$ 0 <C_n <\displaystyle \sqrt n \int_2 ^{+\infty} \mathrm e ^{-(t+\frac 1t) \:\sqrt n} \:\mathrm d t < \sqrt n\: \mathrm e^{-2\sqrt n}\: \int _2 ^{+\infty} \mathrm e^{-\sqrt n t/4} \:\mathrm dt = \:4\: \mathrm e^{-\frac 52 \sqrt n}\:\:$ et cela implique: $\quad C_n \underset{n \to + \infty} = o (A_n).\qquad (3)$
Avec $(1),\: (2),\: (3),\:\: $ et $ \:J_n = A_n +B_n +C_n $, on parvient ainsi à: $\quad \boxed { I_n \underset {n \to + \infty} {\sim} \sqrt {\dfrac {\pi}{\mathrm e}} \:n ^{-\frac 34} \:\mathrm e ^{-2\sqrt n}. }$
$(\bigstar) \quad \text{ Soient }\:\:a,b,c \in \R\:\text{ tels que}\:\: b<a<c,\quad f,g : [b;c]\to \R ,\: g \:\text {continue telle que}\: \:g(a) \neq 0,$
$\: f\: \text{ positive, de classe }\:\mathcal C^2, \:\text{admettant en} \: a\: \text{ un unique maximum strict et telle que }\: f'' (a) \neq 0.$
$$\text{Alors}:\quad \displaystyle \int _b^c f^x \:g \:\underset {x \to + \infty} \sim g(a)\:f(a)^x\: \:\sqrt{ \dfrac {-2\pi f(a)}{ xf''(a)}}.$$ -
supp
-
Merci !!!
Et une question un peu annexe : si $f$ est continue et bornée sur $\R_+$, a-t-on : $$
\int_0^{+\infty} e^{-tn}f(t)(1-e^{-t})dt=o\Big(\int_0^{+\infty} e^{-tn}f(t)dt \Big)
$$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
Ça ne me semble pas absurde, car dans la première intégrale on a multiplié par un facteur qui tend vers 0 à l'infini... -
Tu ne voulais pas plutôt écrire $\int_0^{+\infty} e^{-tn}f(t)e^{-t}dt=o\Big(\int_0^{+\infty} e^{-tn}f(t)dt \Big)$ ? Car $1-e^{-t}$ ne tend pas vers 0 en l'infini. Si c'est le cas, alors la réponse est non (pour $f=1$ les deux intégrales valent respectivement $\frac1{n+1}$ et $\frac1n$).
-
Ah en fait ça fait plus sens avec $1-e^{-t}$, pardon. Dans ce cas, je ne connais pas la réponse. Ça dépend peut-être du fait que $f(0)=0$ ou non.
-
supp
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