Fonctions convexes
Bonjour
Un oral de Mines Ponts.
Pour $f(x)=x^2$ c'est direct car $\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big)^2 \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$
Pour $f(x)=e^x$ on a $\exp\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \leq \dfrac{e^x+e^y}{2} \Leftrightarrow \Big(\exp\big(\dfrac{x+y}{2}\big)\Big)^2 \leq \Big(\dfrac{e^x+e^y}{2}\Big)^2 \Leftrightarrow (e^x-e^y)^2 \geq 0$.
Pour $f(x)=- \sin x$ on a $- \sin \Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \leq \dfrac{- \sin x - \sin y}{2} \Leftrightarrow 2 \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \geq \sin x + \sin y$
Je bloque pour montrer cette dernière inégalité.
Un oral de Mines Ponts.
Pour $f(x)=x^2$ c'est direct car $\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big)^2 \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$
Pour $f(x)=e^x$ on a $\exp\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \leq \dfrac{e^x+e^y}{2} \Leftrightarrow \Big(\exp\big(\dfrac{x+y}{2}\big)\Big)^2 \leq \Big(\dfrac{e^x+e^y}{2}\Big)^2 \Leftrightarrow (e^x-e^y)^2 \geq 0$.
Pour $f(x)=- \sin x$ on a $- \sin \Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \leq \dfrac{- \sin x - \sin y}{2} \Leftrightarrow 2 \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \geq \sin x + \sin y$
Je bloque pour montrer cette dernière inégalité.
Réponses
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Peut-être n’as-tu pas précisé ce qu’est $I$ dans chaque cas, et surtout le dernier...
Édit : l’exercice n’est pas clair à ce sujet d’ailleurs avec la consigne « vérifier » qui ne donne pas $I$.
Est-ce valable « pour tout $I$ » ?
Je crois que ce n’est pas la première fois que je te harcèle.
Tu écris des trucs, jamais quantifiés.
Si tu le faisais TOUT LE TEMPS, tu te sortirais de pas mal de guêpier.
Allez, on y croit toujours ;-)
Remarque : pour le cas de l’exponentielle, as-tu vraiment terminé ?
Correction apportée. -
La deuxième partie de l'énoncé est faux. Une fonction mid-convexe n'est pas nécessairement convexe. Il manque une hypothèse sur la fonction $f$.
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$I$ est un ouvert de $\R$ quelconque, comment voulez vous que je le précise ?
Oui je sais que j'aurais du écrire $\forall (x,y) \in I^2$...
Comment montrer que $\forall (x,y) \in I^2 \ \ 2 \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \geq \sin x + \sin y$ ? -
On dit que si c’est vrai, alors la fonction est convexe.
Comment vérifier que la troisième fonction est convexe puisque selon l’ensemble $I$, elle ne l’est pas. -
L'exercice est incomplet car la conclusion est fausse si $f$ n'est pas supposée continue ou si $f$ n'est pas supposée bornée sur au moins un segment non trivial inclus dans $I$ (je présume que $I$ est un intervalle?).
Essaie au moins de traiter le premier cas : itère la relation $(*)$ et conclus par densité (des nombres dyadiques). -
Par exemple, $f$ est continue sur $I$, mais on peut aussi prendre $f$ est bornée sur $I$ (ou seulement sur un sous-intervalle ouvert non vide de $I$), ou encore $f$ est mesurable sur $I$.
-
Remarque : c’est pour ça aussi qu’on serine partout sur le forum que pour définir une fonction, on commence par donner l’ensemble de départ.
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Dom je ne comprends pas votre obsession avec les ensembles de départ. Les 3 fonctions données sont définies sur $\R$.
Ok je rajoute la continuité. La mesurabilité niveau MPSI je pense que ce n'est pas compatible !
La densité des nombres dyadiques n'est pas au programme de MPSI.
Je suis toujours bloqué pour montrer $(*)$ avec la fonction $x \mapsto - \sin x$. -
$\sin(p)+\sin(q) = 2 \sin\big(\frac{p+q}{2}\big) \cdot \cos\big(\frac{p-q}{2}\big)$.
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Ok merci.
Soit $x,y \in I$.
$ \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \geq \sin x + \sin y \Leftrightarrow \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \geq \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \sin\Big(\dfrac{x-y}{2}\Big) $
Si $ \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big)=0$ l'inégalité est vraie et si $ \sin\Big(\dfrac{x+y}{2}\Big) \ne 0$ on obtient $ 1 \geq \sin\Big(\dfrac{x-y}{2}\Big)$ égalité qui est toujours vraie.
Je réfléchis à la question suivante. -
Je n'ai pas d'idée pour la question 2.
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"La densité des nombres dyadiques n'est pas au programme de MPSI" ???
Mais, on peut le montrer avec le programme de MPSI aisément (en mimant la preuve de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$) -
Bonjour.
Il y a un critère ultra-simple pour les fonctions deux fois dérivables.
Cordialement, Pierre -
Possible j'ai étudié cette démonstration mais je ne vois pas où utiliser la densité ici. Pour l'instant je ne vois pas comment démarrer la preuve.
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Coupe ton intervalle [x,y] en deux, puis en quatre, puis en huit...
Tu peux écrire la relation de convexité pour certains t entre 0 et 1 en exploitant ce découpage : lesquels ? Le plus dur est de le rédiger.
On comprend bien que les dits t sont denses dans [0,1]. -
Montre la relation : $\displaystyle f(\lambda x+ (1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ où $\lambda$ est un nombre dyadique de $[0,1]$ en utilisant $(*)$.
Par exemple, procède par récurrence sur la taille du dénominateur de $\lambda?$ -
Si j'utilise des propriétés sur les nombre dyadiques alors qu'ils ne sont pas au programme je devrais les démontrer.
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Prouve la relation pour les $\lambda$ de la forme $\displaystyle \lambda=\frac{k}{2^{n}}$ où $k\in\{0,\ldots,2^{n}\}$ et $n\in\mathbb{N}.$
Procède par récurrence sur $n\in\mathbb{N}.$ -
Ok @BobbyJoe je vais suivre votre indication.
J'ai un petit souci au niveau du passage suivant :
$\sin (\dfrac{x+y}{2}) \geq \sin (\dfrac{x+y}{2}) \cos (\dfrac{x-y}{2})$
Si $\sin (\dfrac{x+y}{2}) >0$ on obtient $\cos (\dfrac{x-y}{2}) \leq 1$ ce qui est vrai.
Mais si $\sin (\dfrac{x+y}{2}) <0$ je trouve $\cos (\dfrac{x-y}{2}) \geq 1$ ce qui est faux :-X -
Et oui. Depuis le début je te dis que cette identité « quel que soit $x$ et quel que soit $y$ dans $I$ » n’est pas vraie... quel que soit $I$.
D’après l’exercice, si c’était vrai, alors on en déduirait que la fonction de $I=R$ dans $R$ définie par pour tout réel $t$, $f(t)=-\sin (t)$ serait convexe.
Mais au fait, à l’œil, comme ça, cette fonction te paraît-elle convexe ?
Peux-tu trouver, un intervalle $I$ (contenant $0$ par exemple) où elle est convexe ?
(enfin, je dis ça mais pour que $I$ soit ouvert ça peut être difficile d’y inclure $0$) -
@Dom
Elle est convexe sur $]0,\pi[$ par exemple. Mais pas partout.
Encore un exercice mal posé.
Pour la suite :
$f(\lambda+(1-\lambda)y)=f(\dfrac{kx-ky}{2^n}+y)$
Montrons la relation par récurrence sur $n \in \N$.
La propriété est vraie au rang $n=0$.
$f(\dfrac{kx}{2^{n+1}} +(1-\dfrac{k}{2^{n+1}}y) )=f(\dfrac{kx-ky}{2^{n+1}}+y) =f(\dfrac{\dfrac{kx-ky}{2^{n}}+2y}{2}) \leq \dfrac{1}{2} (f(2y)+f(\dfrac{kx-ky}{2^{n}}))$
Je suis bloqué ici. -
@OShine
Si j'ai bien compris, tu n'es pas le Supergudule chargé de noter les examinateurs des Concours, ni celui-là ni un autre..
Et donc ton "encore un exercice mal posé" est au mieux ridicule. ODLT est seulement un "service" de transmission de sujets tels qu'ils ont été recopiés par les transmetteurs. Ce n'est pas une autorité scientifique qui prétendrait remettre ces exercices en forme et les valider.
Par ailleurs, ne pas voir que la dérivée seconde de la fonction sinus n'a pas un signe constant sur $\R$ tout entier n'est pas vraiment une preuve de clairvoyance.
Cordialement, Pierre. -
Ok je ne savais pas.
Je cherchais à montrer la relation $(*)$ pour la fonction - sin car l'exercice demande de montrer cette relation. L'exercice ne demande pas de montrer que les fonctions proposées sont convexes... -
Bon, il est clair que cet exercice concerne les fonctions convexes, selon la définition rappelée par l'énoncé. Si une fonction est convexe, elle vérifie à l'évidence la propriété dite $(*)$, qui est la mid-convexité.
L'énoncé demande de prouver que si une fonction vérifie la propriété $(*)$, autrement dit si elle est mid-convexe, alors elle est convexe. Comme l'ont dit les camarades ci-dessus, c'est faux, et c'est vrai moyennant une hypothèse additionnelle, dont la plus simple pour la première année est la continuité partout, avec un argument de densité pour les nombres dyadiques. Première erreur de l'énoncé.
Pour une fonction usuelle, la convexité se constate clairement sur le graphe, comme l'on sait : l'épigraphe, ensemble des points situés au-dessus est convexe. Il est bien clair que la fonction $x \mapsto - \sin x$ est convexe sur $I=[0,\pi]$, et sur d'autres intervalles, mais pas sur tous, et assurément pas sur $\mathbb R$. Seconde erreur de l'énoncé.
Deux grosses c...eries c'est beaucoup pour un énoncé si court !
Tout ceci est un tissu d'évidences qu'on a même honte de devoir rappeler. Il y en a marre de ces énoncés mal foutus qui font perdre un temps précieux à nos jeunes étudiants.
Bonne soirée quand même.
Fr. Ch. -
Merci pour ces précisions Chaurien.
-
« L'exercice ne demande pas de montrer que les fonctions proposées sont convexes... »
Mais si, voyons !!!
L’exercice dit « voici une relation (*) » :
a) démontrer que ces trois fonctions (choisies continues) vérifient la relation (*).
remarque : l’exercice oublie de préciser les ensembles de définition.
b) démontrer que quelle que soit la fonction $f$, si $f$ vérifie (*) [et est continue, nouvel oubli], alors $f$ est convexe.
Ainsi, l’exercice dit bien qu’il démontre dans le « b) » que les fonctions du « a) » sont convexes.
NB : l’exercice est mal posé, ce n’est quand même pas difficile à admettre. On n’a pas besoin d’avoir aucun galon pour le dire.
Par contre, dire que l’auteur « original » n’est pas le fautif, oui, je suis d’accord. C’est le « recopieur » éventuellement, ou le « recopieur du recopieur », etc.
Édit : je n’avais pas vu le message de Chaurien. -
Ok ça marche mais je n'avance pas.
Je n'arrive pas à montrer ce que me demande Bobby Joe. -
Concrètement c'est quoi les dyadiques ? Géométriquement pourquoi c'est logique de montrer le résultat intermédiaire qu'on suggère de montrer d'abord avant de conclure par densité ?
Si tu vois les dyadiques comme un balisage de [0,1] fait de la façon "on coupe en deux à chaque fois", tu peux exploiter le fait que ceux de rang n+1 sont coincés entre-deux de rang n. Et ce point de vue te montre mieux comment exploiter l'hypothèse de récurrence. Bon, je reste flou volontairement.
C'est conceptuellement facile mais je me souviens qu'en tant qu'élève de sup elle était un peu dure à mettre en place, mais c'est un bon exercice de formalisation je trouve. -
Selon où on en est, on a la tête dans le guidon ou pas.
Il faut sortir du guidon. Facile à dire... -
OShine, tu n’as toujours pas changé de livres depuis?
-
Non ce livre me convient bien. Il suit bien le programme et les démonstrations du cours sont claires et bien expliquées. Et il ne fait pas de hors programme ce qui a tendance à m'embrouiller l'esprit.
-
Un nombre dyadique est un nombre de la forme $\lambda=\dfrac{k}{2^n}$ avec $n$ entier naturel.
Plus $n$ est grand plus le balisage de $[0,1]$ sera précis.
Les nombres dyadiques de rang $n$ forment des intervalles du type $[\dfrac{k}{2^n},\dfrac{k+1}{2^{n}}]$. Un nombre dyadique de rang $n+1$ est de la forme $\dfrac{k}{2^{n+1}}$ mais je ne vois pas comment montrer que ceux de rang $n+1$ vont s'intercaler.
Géométriquement et l'histoire avec la densité je ne vois pas du tout.
J'ai l'impression de ne pas comprendre grand chose. -
Pour être clair, les nombres dyadiques c'est juste ceux que t'obtiens en prenant le milieu de ton intervalle, puis les milieux des deux intervalles qu'il départage, puis les milieux des quatre intervalles obtenus, puis les milieux des huit intervalles...
Et la densité semble assez claire graphiquement ! Si tu découpes plein de fois, on a bien l'impression qu'on finira par recouvrir visuellement tout l'intervalle juste avec ces points. -
Mais comment être sûr que le milieu de l'intervalle sera forcément un nombre dyadique ?
$Q$ est dense dans $\R$ signifie que entre 2 réels il existe un rationnel. On peut approximer un réel par un rationnel.
Mais tout ça ne m'aide pas à résoudre l'exercice, je n'ai pas compris à quoi ça va nous servir ni comment montrer l'inégalité de convexité pour les nombres dyadiques. -
Je crois que tu devrais laisser certaines choses décanter. Tu ne peux pas faire grand chose sans te convaincre au moins graphiquement que les dyadiques sont denses, ou comment ils s'organisent.
Pour montrer cette densité c'est strictement la même idée que pour celle de Q (et c'est plus important à savoir faire que l'exercice sur la convexité, bien qu'il soit un peu formateur). -
Bon. J’espère ne pas brouiller les pistes et les esprits.
En gros, tu as une suite $\varepsilon$ de réels strictement positifs qui tend vers $0$.
Je peux approcher n’importe quel nombre $x$ positif d’aussi près que je veux : il me suffit de choisir un $\varepsilon_n$ assez petit, et de l’ajouter à lui-même un certain nombre $k$ de fois. $k\varepsilon_n \leq x \leq k\varepsilon_n+\varepsilon_n$.
Bon si ça t’embrouille laisse tomber. -
$D=\{ \dfrac{k}{2^n} | (k,n) \in \Z \times \N \} \subset \Q$
D'après mon cours $\mathbb{D}$ est dense dans $\Q$ (démonstration utilisant l'approximation décimale)
Mais je ne comprends pas comment on déduit que $\Q$ est dense dans $\R$. Le livre dit :"elle découle du fait que $\Q$ contient $\mathbb{D}$"
Je n'ai pas compris la transition.
Par ailleurs peut-on utiliser ces résultats pour montrer la densité de $D$ ? -
Tu devrais réfléchir à ce que je viens de dire.
Faire un dessin.
Ou bien essayer d’approcher $6,157$ avec des dyadiques. -
C'est vrai, mais c'est surtout que $\mathbb{D}$ est dense dans $\R$ !D'après mon cours $\mathbb{D}$ est dense dans $\Q$ (démonstration utilisant l'approximation décimale)Mais je ne comprends pas comment on déduit que $\Q$ est dense dans $\R$. Le livre dit :"elle découle du fait que $\Q$ contient $\mathbb{D}$"
Oui, $\mathbb{D}$ est dense dans $\R$, donc $\Q$, qui est encore plus "gros", puisqu'il contient $\mathbb{D}$ est aussi dense dans $\R$. -
Sans qu'il soit besoin d'évoquer les sous-groupes additifs de $\mathbb R$, on peut montrer sans mal que tout sous-anneau de $\mathbb R$, autre que $\mathbb R$ ou $\mathbb Z$, est dense dans $\mathbb R$ ainsi que son complémentaire, autrement dit dense dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide.
-
@Marsup
Ok ça marche j'ai fait un erreur je voulais bien dire $\R$.
@Dom
Je n'ai pas compris votre message déjà que mon cerveau est embrouillé.
Soit $x \in \R$
Montrons que l'ensemble des nombres dyadiques $D$ est dense dans $\R$ c'est à dire que $\forall \varepsilon>0$ il existe un dyadique $y$ dans l'intervalle $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[$
Soit $\varepsilon>0$. On peut écrire $\R=\bigcup [\dfrac{k}{2^n},\dfrac{k+1}{2^n}[$
Pour tout $n$ il existe un entier $k \in \Z$ tel que $\dfrac{k}{2^n} \leq x \leq \dfrac{k+1}{2^{n}}$
Posons $y=\dfrac{k}{2^n}$ qui est un nombre dyadique. On a $|y-x| \leq \dfrac{1}{2^n} \leq \varepsilon$.
Il suffit de choisir $n$ de sorte que $2^n >\varepsilon.$ ce qui clos la démonstration.
Par contre je ne vois en quoi ça va nous servir pour résoudre l'exercice. -
Soit $f$ qui vérifie (*), alors en composant elle vérifie « voir plus haut ».
Soit $x$ et $y$ dans $I$.
Alors il existe une suite $(x_n)_n$ de dyadiques qui tend vers $x$.
Idem pour $y$.
1) écrire la relation « plus haut »
2) si de plus $f$ est continue, alors on peut passer à la limite. -
Ok merci. Je commence enfin à sortir du tunnel.
Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ 2 suites de nombres dyadiques convergeant respectivement vers $x$ et $y$. $f$ est continue en $x$ et $y$.
Soit $\lambda \in ]0,1[$.
Je dois montrer que $f(\lambda x_n +(1-\lambda)y_n)\leq \lambda f(x_n)+ (1-\lambda)f(y_n)$.
On m'avait proposé une récurrence mais je n'ai pas réussi.
Si on suppose le résultat admis on a $\lambda x_n +(1-\lambda)y_n \longrightarrow x+(1-\lambda)y$
En passant à la limite dans l'inégalité et par continuité et caractérisation séquentielle on obtient $f(x_n) \longrightarrow f(x)$ et $f(y_n) \longrightarrow f(y)$. On en déduit le résultat voulu.
Il me manque à démontrer que $f(\lambda x_n +(1-\lambda)y_n)\leq \lambda f(x_n)+ (1-\lambda)f(y_n)$.
Mais le message de BobbyJoe me perturbe il m'a demandé de poser$\lambda$ sous la forme d'un nombre dyadique alors qu'ici les nombres dyadiques sont $x$ et $y$ non ? -
Mais non ! Ce n'est pas ça !
Soient $x,y\in I$ fixés, et $\lambda \in [0,1]$ fixé.
On veut montrer l'inégalité : $f(\lambda x +(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+ (1-\lambda)f(y)$.
On montre que cette inégalité est vraie quand $\lambda = \frac{1}{2}$ (hypothèse), puis $\lambda = \frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$, puis ainsi de suite pour tout $\lambda = \frac{p}{2^n}$ dyadique.
Ensuite, pour notre $\lambda$ fixé, on prend une suite $\lambda_n$ de dyadiques telle que $\lambda_n \to \lambda$, et là on regarde ce qui se passe par continuité.
Mais $x,y$, eux ils ne bougent pas, et on ne les approxime pas. -
D'accord merci.
$f\Big(\dfrac{px}{2^n} + (1-\dfrac{px}{2^n})y\Big)=f\Big(\dfrac{p(x-y)}{2^n}+y\Big)$
Je n'arrive pas à montrer l'inégalité même par récurrence je ne vois pas le lien direct entre $H_n$ et $H_{n+1}$ -
Est-ce que tu l'as fait, déjà, pour $\lambda = \frac{1}{4}$, puis $\frac34$ ?
-
Pour $\lambda=\dfrac{1}{4}$ on a $f\big(\lambda x+(1-\lambda)y\big)=f\big(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3y}{4}\big) \leq \dfrac{f(\tfrac{x}{2})+f(\tfrac{3y}{2})}{2} \leq $ mais après je ne vois pas.
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