Comparaison avec une intégrale

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

Soit $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R^+$ continue par morceaux et décroissante. La série $\sum f(n)$ converge si et seulement so $\Big(\displaystyle\int_{0}^n f(t) dt \Big)_{n \in \N}$ converge.

J'ai une question si la série est définie que pour $n \geq 2$ que devient ce théorème ? Pareil si $n \geq 1$ ?

J'ai vu dans le corrigé d'un exercice l'intégrale commencer à 1 mais je n'ai pas compris pourquoi.

Réponses

  • mateo
    mateo
    Bonsoir OShine,

    la série est l'aire sous la courbe d'une fonction en escalier, et l'intégrale est l'aire sous la courbe de f.
    Tu auras la réponse à ta question en faisant un dessin.

    Cordialement,
    Mateo.

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    La convergence est une limite à l’infini donc tous les termes précédents ne jouent aucun rôle. C’est la même chose pour l’intégrale : la fonction est continue sur tout compact et donc sur $[0,k]$ pour tout $k$ entier.

    Bref, le théorème est correct avec une série qui commence à $p$ entier quelconque et une intégrale dont la borne inférieure est $q$ entier quelconque.

    Non ?
  • OShine
    OShine
    @Mateo
    Oui mais ça ne m'aide pas à répondre à ma question.

    @Yves
    L'intégrale entre 0 et p converge oui car le fonction est continue par morceaux. J'y ai pensé.

    Mais comment réécrire le théorème si la fonction est définie sur $[3,+\infty[$ par exemple ? L'intégrale va commencer à quelle borne ?
  • Poirot
    Poirot
    Bah à $3$, on se fiche des premières valeurs pour la convergence d'une série, ou pour l'intégrabilité d'une fonction localement intégrable (ici continue par morceaux visiblement).
  • reuns
    reuns
    OShine pourquoi tu ne pars pas juste de $\int_{n-1}^n f(x)dx\ge f(n)\ge \int_n^{n+1}f(x)dx\ge 0$

    et tu sommes sur $n$.

    Si l'une diverge vers $+\infty$ alors l'autre aussi.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si une fonction $f$ est définie sur $[3,+\infty[$, tu demandes quelle borne inférieure écrire dans ce théorème. La réponse est toute valeur $a\geq 3$. Une valeur plus petite que $3$ n’a pas de sens et toute valeur plus grande que $3$ convient.
  • OShine
    OShine
    Ok merci je retiens que les valeurs petites de $n$ ne sont pas importantes pour la convergence de la suite d'intégrale.

    @Reuns
    Oui bien vu mais ici je m'intéresse plutôt à la convergence.
  • bisam
    bisam
    Je conseille à mes élèves de :
    1) connaître l'existence de ce théorème
    2) le redémontrer à chaque fois pour ne pas avoir à se poser de questions sur les bornes, ou plutôt pour se les poser naturellement, au fur et à mesure qu'ils démontrent le résultat qui les intéresse.

    Je te conseille la même chose : si tu as besoin d'un résultat qui ressemble à celui-ci, redémontre-le.
  • OShine
    OShine
    @bisam

    Ok merci je vais suivre votre conseil.
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