Convergence uniforme
Réponses
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@naima12 Bonjour et bonne année!
As-tu déjà montré la convergence simple sur $[0,1[$ de ta série de fonctions ? Si oui, en notant $f$ cette limite simple, que dire de la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures ? Puis essaye de faire le lien avec la définition de la convergence uniforme. -
Bonne année à toi aussi.
Oui on a convergence simple vers $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ pour $x\in [0,1[$
et $\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x)=+\infty$
Mais je n'arrive pas à conclure. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Merci d'avance. -
La convergence uniforme sur $[0;1[$ : une des définitions dit que l’on regarde le $\sup$ du terme général sur l’ensemble $[0;1[$.
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Ce n'est pas la définition de la convergence uniforme pour les suites de fonctions que vous avez donnée ?
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Oui et les fonctions que je considère sont les fonctions définies sur $I=[0;1[$ par :
Pour tout entier $n$ non nul,
Pour tout $x\in I$, $f_n(x)=nx^{n-1}$
N’est-ce pas ce que l’on est en train d’étudier ? -
Non ma question est pour la convergence uniforme de $S_N(x)=\sum\limits_{n=1}^Nnx^{n-1}$ sur $[0,1[$
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Ha !
C’était difficile (enfin pour moi) de le savoir...
Edit : cela dit je me suis aussi emmêlé les pinceaux.
Je pourrais retomber sur mes pieds avec une belle pirouette mais j'avais en tête plutôt la convergence normale.
Bon, reprenons... -
@naima12 Toute série de fonctions est une suite de fonctions: c’est la suite des sommes partielles $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$. On dit que la série de fonctions converge uniformément si la suite des sommes partielles converge uniformément. On peut alors regarder le sup de la différence entre les sommes partielles et la limite de ces sommes partielles...
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supp
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[small]L'embrouille est dans le message original :
"La série de fonction" puis le $\Sigma$ sans borne supérieure...[/small] -
Bonjour,
On peut aussi dire que si $S_N(x)$ converge uniformément sur $[0,1[$, alors $S_N(x) - S_{N-1}(x)=Nx^{N-1}$ converge uniformément vers 0. Or cette dernière assertion est fausse. -
Comment vous avez prouvé que $Nx^{N-1}$ ne converge pas uniformément vers 0 ? Merci.
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supp
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Calcule $\sup_{x\in[0,1[} |Nx^{N-1}|$ et tu verras qu'il ne tend pas vers 0 quand $N$ tend vers l'infini.
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Bon sang, réfléchis à ce que tu écris. $N$ est fixé dans ta question !
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La méthode de @side serait plus intéressante si on étudiait par exemple $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ car dans ce cas la mienne ne marcherait pas. Mais puisqu'ici il y a plus simple, autant en profiter.
(La méthode de side nie la convergence uniforme de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ sur $[0,1[$ car la série des $\frac1n$ diverge.)side a écrit:Méthode de Calli c'est la même idée en plus simple.
Oui, j'ai d'abord pensé comme @side, avant de voir qu'on peut simplifier. -
$$\sup_{x\in[0,1[} |Nx^{N-1}|=N \sup_{x\in[0,1[} x^{N-1}=\dots$$
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On n'a pas toujours équivalence entre uniformément convergente et uniformément de Cauchy? Pourquoi votre méthode ne marche pas dans l'exemple de Side?
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supp
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Et ce que vous avez utilisé au début est la définition de uniformément de Cauchy? non?
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Vous allez chercher midi à 14h, tout de même...
Ici, le reste d'ordre $N$ de la série de fonctions n'est jamais borné sur $I=\left[0,1\right[$, puisque différence d'une fonction non bornée et de plusieurs fonctions polynomiales donc bornées sur $I$...
Par conséquent, on ne peut même pas définir la norme infinie de ce reste et donc il ne risque pas d'y avoir convergence uniforme sur cet intervalle ! -
On a équivalence (convergence uniforme et critère de Cauchy uniforme) lorsque l'espace d'arrivée des fonctions est complet.
Ce qui est quasiment toujours le cas ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ou leurs produits cartésiens).
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Bonjour!
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