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Convergence uniforme

Envoyé par naima12 
Convergence uniforme
il y a trois mois
Bonjour
La série de fonctions $\sum\limits_{n=1}nx^{n-1}$ est-elle uniformément convergente sur $[0,1[$ ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
@naima12 Bonjour et bonne année!

As-tu déjà montré la convergence simple sur $[0,1[$ de ta série de fonctions ? Si oui, en notant $f$ cette limite simple, que dire de la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures ? Puis essaye de faire le lien avec la définition de la convergence uniforme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Bonne année à toi aussi.
Oui on a convergence simple vers $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ pour $x\in [0,1[$
et $\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x)=+\infty$

Mais je n'arrive pas à conclure. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
La convergence uniforme sur $[0;1[$ : une des définitions dit que l’on regarde le $\sup$ du terme général sur l’ensemble $[0;1[$.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Ce n'est pas la définition de la convergence uniforme pour les suites de fonctions que vous avez donnée ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Oui et les fonctions que je considère sont les fonctions définies sur $I=[0;1[$ par :
Pour tout entier $n$ non nul,
Pour tout $x\in I$, $f_n(x)=nx^{n-1}$

N’est-ce pas ce que l’on est en train d’étudier ?
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Non ma question est pour la convergence uniforme de $S_N(x)=\sum\limits_{n=1}^Nnx^{n-1}$ sur $[0,1[$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Ha !
C’était difficile (enfin pour moi) de le savoir...

Edit : cela dit je me suis aussi emmêlé les pinceaux.
Je pourrais retomber sur mes pieds avec une belle pirouette mais j'avais en tête plutôt la convergence normale.
Bon, reprenons...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Dom.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
@naima12 Toute série de fonctions est une suite de fonctions: c’est la suite des sommes partielles $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$. On dit que la série de fonctions converge uniformément si la suite des sommes partielles converge uniformément. On peut alors regarder le sup de la différence entre les sommes partielles et la limite de ces sommes partielles...
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Bonjour,


Si on suppose la convergence uniforme sur $[0;1[$, alors en écrivant le critère de Cauchy uniforme, puis en passant à la limite lorsque $x$ tend vers $1$, on déduit que la série $\sum_n n$ converge et on termine.
Dom
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
L'embrouille est dans le message original :
"La série de fonction" puis le $\Sigma$ sans borne supérieure...




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Dom.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
@Side, pouvez vous détailler mieux votre idée? Merci
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
Bonjour,
On peut aussi dire que si $S_N(x)$ converge uniformément sur $[0,1[$, alors $S_N(x) - S_{N-1}(x)=Nx^{N-1}$ converge uniformément vers 0. Or cette dernière assertion est fausse.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Calli.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Comment vous avez prouvé que $Nx^{N-1}$ ne converge pas uniformément vers 0 ? Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Méthode de Calli c'est la même idée en plus simple.

Je n'écris pas tous les quantificateurs, on passe à la limite dans l'inégalité uniforme en $x$, $|S_p(x) - S_q(x) |<\epsilon$, pour trouver $|S_p(1)-S_q(1)|=|p-q|<\epsilon$. Soit on termine avec $\sum n $ converge (critère de Cauchy appliqué à cette série), soit on constate que $p-q$ est toujours plus grand que $1$ des que $p, q$ sont distincts.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
Calcule $\sup_{x\in[0,1[} |Nx^{N-1}|$ et tu verras qu'il ne tend pas vers 0 quand $N$ tend vers l'infini.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
@Cali, A t-on $\sup_{x\in[0,1[} |Nx^{N-1}|=+\infty$?
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Bon sang, réfléchis à ce que tu écris. $N$ est fixé dans ta question !
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
La méthode de @side serait plus intéressante si on étudiait par exemple $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ car dans ce cas la mienne ne marcherait pas. Mais puisqu'ici il y a plus simple, autant en profiter.
(La méthode de side nie la convergence uniforme de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ sur $[0,1[$ car la série des $\frac1n$ diverge.)

Citation
side
Méthode de Calli c'est la même idée en plus simple.

Oui, j'ai d'abord pensé comme @side, avant de voir qu'on peut simplifier.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Calli.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
$$\sup_{x\in[0,1[} |Nx^{N-1}|=N \sup_{x\in[0,1[} x^{N-1}=\dots$$
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
On n'a pas toujours équivalence entre uniformément convergente et uniformément de Cauchy? Pourquoi votre méthode ne marche pas dans l'exemple de Side?
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Sinon l'idée d'adrien : la limite en $1$ serait l'infini pour la fonction limite $S$, ce qui n'est pas compatible de la fonction $S_N-S$ bornée par $1$ pour un certain $N$, car comme la fonction $S_N$ est bornée, on aurait $S$ bornée sur $[0;1[$.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
Ma méthode ne marcherait pas pour $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ parce que $\frac{x^n}n$ converge bien uniformément vers 0 sur $[0,1[$ (tiens, encore un calcul de sup).

Citation
naima12
On n'a pas toujours équivalence entre uniformément convergente et uniformément de Cauchy?

Si.
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
Et ce que vous avez utilisé au début est la définition de uniformément de Cauchy? non?
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
avatar
Vous allez chercher midi à 14h, tout de même...
Ici, le reste d'ordre $N$ de la série de fonctions n'est jamais borné sur $I=\left[0,1\right[$, puisque différence d'une fonction non bornée et de plusieurs fonctions polynomiales donc bornées sur $I$...
Par conséquent, on ne peut même pas définir la norme infinie de ce reste et donc il ne risque pas d'y avoir convergence uniforme sur cet intervalle !
Dom
Re: Convergence uniforme
il y a trois mois
On a équivalence (convergence uniforme et critère de Cauchy uniforme) lorsque l'espace d'arrivée des fonctions est complet.
Ce qui est quasiment toujours le cas ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ou leurs produits cartésiens).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Dom.
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