As-tu déjà montré la convergence simple sur $[0,1[$ de ta série de fonctions ? Si oui, en notant $f$ cette limite simple, que dire de la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures ? Puis essaye de faire le lien avec la définition de la convergence uniforme.
Oui et les fonctions que je considère sont les fonctions définies sur $I=[0;1[$ par :
Pour tout entier $n$ non nul,
Pour tout $x\in I$, $f_n(x)=nx^{n-1}$
Ha !
C’était difficile (enfin pour moi) de le savoir...
Edit : cela dit je me suis aussi emmêlé les pinceaux.
Je pourrais retomber sur mes pieds avec une belle pirouette mais j'avais en tête plutôt la convergence normale.
Bon, reprenons...
@naima12 Toute série de fonctions est une suite de fonctions: c’est la suite des sommes partielles $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$. On dit que la série de fonctions converge uniformément si la suite des sommes partielles converge uniformément. On peut alors regarder le sup de la différence entre les sommes partielles et la limite de ces sommes partielles...
Bonjour,
On peut aussi dire que si $S_N(x)$ converge uniformément sur $[0,1[$, alors $S_N(x) - S_{N-1}(x)=Nx^{N-1}$ converge uniformément vers 0. Or cette dernière assertion est fausse.
La méthode de @side serait plus intéressante si on étudiait par exemple $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ car dans ce cas la mienne ne marcherait pas. Mais puisqu'ici il y a plus simple, autant en profiter.
(La méthode de side nie la convergence uniforme de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ sur $[0,1[$ car la série des $\frac1n$ diverge.)
Ma méthode ne marcherait pas pour $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ parce que $\frac{x^n}n$ converge bien uniformément vers 0 sur $[0,1[$ (tiens, encore un calcul de sup).
Vous allez chercher midi à 14h, tout de même...
Ici, le reste d'ordre $N$ de la série de fonctions n'est jamais borné sur $I=\left[0,1\right[$, puisque différence d'une fonction non bornée et de plusieurs fonctions polynomiales donc bornées sur $I$...
Par conséquent, on ne peut même pas définir la norme infinie de ce reste et donc il ne risque pas d'y avoir convergence uniforme sur cet intervalle !
On a équivalence (convergence uniforme et critère de Cauchy uniforme) lorsque l'espace d'arrivée des fonctions est complet.
Ce qui est quasiment toujours le cas ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ou leurs produits cartésiens).
Réponses
As-tu déjà montré la convergence simple sur $[0,1[$ de ta série de fonctions ? Si oui, en notant $f$ cette limite simple, que dire de la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures ? Puis essaye de faire le lien avec la définition de la convergence uniforme.
Oui on a convergence simple vers $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$ pour $x\in [0,1[$
et $\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x)=+\infty$
Mais je n'arrive pas à conclure. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Merci d'avance.
Pour tout entier $n$ non nul,
Pour tout $x\in I$, $f_n(x)=nx^{n-1}$
N’est-ce pas ce que l’on est en train d’étudier ?
C’était difficile (enfin pour moi) de le savoir...
Edit : cela dit je me suis aussi emmêlé les pinceaux.
Je pourrais retomber sur mes pieds avec une belle pirouette mais j'avais en tête plutôt la convergence normale.
Bon, reprenons...
"La série de fonction" puis le $\Sigma$ sans borne supérieure...[/small]
On peut aussi dire que si $S_N(x)$ converge uniformément sur $[0,1[$, alors $S_N(x) - S_{N-1}(x)=Nx^{N-1}$ converge uniformément vers 0. Or cette dernière assertion est fausse.
(La méthode de side nie la convergence uniforme de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}n$ sur $[0,1[$ car la série des $\frac1n$ diverge.)
Oui, j'ai d'abord pensé comme @side, avant de voir qu'on peut simplifier.
Si.
Ici, le reste d'ordre $N$ de la série de fonctions n'est jamais borné sur $I=\left[0,1\right[$, puisque différence d'une fonction non bornée et de plusieurs fonctions polynomiales donc bornées sur $I$...
Par conséquent, on ne peut même pas définir la norme infinie de ce reste et donc il ne risque pas d'y avoir convergence uniforme sur cet intervalle !
Ce qui est quasiment toujours le cas ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ou leurs produits cartésiens).