Intégrale d'une fonction paire

Simeon-urbain · January 2020

Bonsoir
si f est paire sur R et l’intégrale de 0 à l'infini de f converge vers l, a-t-on toujours l'intégrale de -infini à +infini égale à 2l ?
Merci S_U

YvesM · January 2020

Bonjour,

Oui. Démontre-le.

Kcg · January 2020

Oui, il suffit d'écrire
$\int \limits_{-\infty}^{+\infty } {f(x) dx}=\int \limits_{- \infty}^{0} {f(x)} + \int \limits_{0}^{+\infty} {f(x)}$ et de faire des changements de variables approprié pour voir que $\int \limits_{-\infty}^{+\infty } {f(x) dx}=2 \int \limits_{0}^{+\infty} {f(x)}= 2I$

Homo Topi · January 2020

Kcg : écrit comme ça, c'est laid... tu écris une intégrale avant de prouver qu'elle existe. Ici, évidemment, ce n'est pas bien compliqué de montrer qu'elle existe.

Si $\displaystyle \int_0^{\infty}f(t)dt=l$, alors $\displaystyle \int_0^{\infty}-f(t)dt=...$ donc...

Kcg · January 2020

Tu as effectivement raison @Homo topi

Simeon-urbain · January 2020

bonjour,
c"est fait ,dé même si la fonction est impaire ,continue sur R et l'integrale converge sur 0 l"infini
sur R l'integrale vaut 0 . mais le résultat est-il (pour les fonctions impaires). toujours vrai si elles divergent??
merci et meilleurs voeux. S_U

[Ne peux-tu te relire pour corriger ces fautes de frappe qui rendent pénible la lecture ! AD]

Simeon-urbain · January 2020

merci de votre aide meilleurs voeux. S_U

Homo Topi · January 2020

Si $f$ est impaire telle que $\displaystyle \int_0^{\infty}f(t)dt=\infty$, ça donnerait un truc comme ça :

$\displaystyle \int_{- \infty}^0 f(t)dt = - \int_0^{- \infty}f(t)dt = \int_0^{- \infty}f(-t)dt = -\int_0^{\infty}f(s)ds = - \infty$

Du coup, si on voulait donner un sens à $\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty}f(t)dt$, il faudrait que ce soit égal à $\displaystyle \int_0^{\infty}f(t)dt + \displaystyle \int_{- \infty}^0 f(t)dt$, donc à $\infty - \infty$.

Donc on a un problème.

Riemann_lapins_cretins · January 2020

Plus précisément, le problème pour définir l'intégrale sur R est qu'on a (en supposant f continue partout) deux limites à traiter, donc deux nombres à faire tendre vers l'infini.

Ce qui est vrai pour f impaire, c'est que la limite des intégrales sur [-A,A], lorsque A va vers l'infini, est nulle.
Mais si on intègre sur des intervalles non symétriques, ça se complique.
Exemple simple : f(x) = x
Eh bien je t'invite à t'amuser avec les bornes pour faire avoir à "l'intégrale sur R" la valeur que tu veux. 0, l'infini, 7pi/4 ? Tu peux.

En fait je phénomène est général. Sans intégrabilité on peut faire avoir à l'intégrale la valeur qu'on veut, et donc l'intégrale sur R n'est tout simplement pas définie. Je trouve qu'on n'insiste pas assez sur la valeur de l'intégrabilité en l2/spé, qui peut juste sonner "vérification pour faire plaisir au correcteur" aux yeux de l'élève. Le sens de l'intégrabilité vient de là : elle sert justement à donner un sens à l'intégrale sur R.

Intégrale d'une fonction paire

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 25