Limite et fonction monotone
Bonsoir
J'ai ce résultat.
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ borné et décroissante, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\inf_{x\in\mathbb{R}} f(x).$
Soit $m=\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)$ donc
$\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ m\leq f(x_{\varepsilon})<m+\varepsilon.$
Comme $f$ est décroissante on a
$\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq x_{\varepsilon}\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$
Comment trouver $B>0$ tel que
$\forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq B\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$
J'ai ce résultat.
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ borné et décroissante, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\inf_{x\in\mathbb{R}} f(x).$
Soit $m=\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)$ donc
$\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ m\leq f(x_{\varepsilon})<m+\varepsilon.$
Comme $f$ est décroissante on a
$\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq x_{\varepsilon}\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$
Comment trouver $B>0$ tel que
$\forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq B\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$
Réponses
-
Peut on prendre $B=|x_{\varepsilon}|$?
Merci de m'aider s'il vous plait -
ta question marche sur la tete: tu n'exiges rien de $B...$
-
Ta question n’a aucun sens...
-
Pourquoi vous dite que ma question n'a aucun sens, je veux montrer que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)$ ou $f$ est une fonction réelle décroissante
donc il faut montrer que $\forall \varepsilon>0,\exists B>0, \forall x\in \mathbb{R}, x\geq B\Rightarrow |f(x)-\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)|\leq \varepsilon$ -
Tu as écrit « Comme $f$ est décroissante, alors on a ce qu’on veut ». La question qui suit ne se pose donc plus.
Eh bien puisque tu nous mets maintenant le doute, voudrais-tu bien nous détailler ce passage? -
$x\geq x_0\Rightarrow m-\varepsilon<m\leq f(x)\leq f(x_{\varepsilon})<m+\varepsilon$
Comment vous dite alors qu'on a se qu'on veux ? -
1)Mal rédigé mais bon ok.
2)$x_{\epsilon}$ et non $x_0$
3) Eh bien alors, où est le problème bon sang? -
Comment choisir B>0, pour satisfaire la definition de la limite
-
Et quelle importance?
-
Comment quel importance ?
La definition est : $\lim_{x\to+\infty} f(x)=l\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists B\geq 0, \forall x\in \mathbb{R}, x\geq B\Rightarrow |f(x)-l|\leq\varepsilon$
et $x_{\varepsilon }$ n'est pas obligatoirement positif -
Question : Pourquoi y a-t-il $B\ge 0$ dans ta définition et pas simplement $B\in \mathbb R$ qui est largement suffisant ?
Et ta question dans le message précédent, tu peux trouver seul ... que c'est faux !! -
@raoul.S
Tu lui réponds cela, c'est bien. Mais ne vois-tu pas que tu le confortes dans l'idée de penser que son $B$ doit nécessairement être positif....
Encore une fois, après avoir démontré que la limite de $f$ est $m$, c'est juste idiot de demander de démontrer que la limite de $f$ est $m$.
Et oui, le $>0$ pour$B$ est bien superflu dans la définition de la limite. -
En classe on a vu la définition avec $B\geq 0$
-
@Amathoué ah oui effectivement je m'étais concentré sur le passage de $\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq x_{\varepsilon}\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$ à $\forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq B\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$ sans trop réfléchir.
@Topotopo effectivement comme on te l'a dit $\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in\mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R},\ x\geq x_{\varepsilon}\Rightarrow |f(x)-m|\leq\varepsilon.$ (avec $m=\inf_{x\in\mathbb{R}} f(x)$) veut déjà dire que $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\inf_{x\in\mathbb{R}} f(x).$ -
mais en cours on a vu la definition avec B positif
ya bien une méthode pour trouver le résultat avec notre definition
(je suis la même personne je n'arrive a accéder à mon compte via mon telephone) -
Exercice :
Montre (montrez?) que les deux définitions sont équivalentes. -
bon ben là tu n'as qu'à prendre $B=|x_{\varepsilon}|$ et ça marche parce que si $x\geq B$ alors $x\geq x_{\varepsilon}$.
Car on a l'inégalité "évidente" $|x_{\varepsilon}| \geq x_{\varepsilon}$. ::o -
@rqoul.S:
Merci
Mais je n'arrive pas à montrer que les deux définitions sont équivalentes.
Si $\forall\varepsilon>0,\ \exists B\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ x>B\Rightarrow |f(x)-m|<\varepsilon$
implique que
$\forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ x>B\Rightarrow |f(x)-m|<\varepsilon,$
car $x>B,\ B>0$ implique que $x>B,\ B\in\mathbb{R}$.
Mais inversement je ne sais pas -
Bref, tu ne comprends pas que pour tout réel $B$, l’intervalle $]B,+\infty[$ contient au moins un intervalle $]C,+\infty[$ où $C>0$?
-
mais de l'écriture
$\forall \varepsilon>0, \exists B\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}, x>B\Rightarrow |f(x)-m|<\varepsilon$
comment arriver a celle ci
$\forall \varepsilon>0, \exists C>0, \forall x\in \mathbb{R}, x>C\Rightarrow |f(x)-m|<\varepsilon$ -
Bonsoir,
Tu peux poser $C=B$ si $B>0$ et $C=1$ sinon. -
Ou $C= \pi^{37}$ si ça te chante. Fais un dessin. Si tu dis que $f(x)$ est proche de $5$ à partir d'un certain moment, tu peux en particulier choisir ce moment strictement positif...
-
J'ai bien compris ce que m'a dit Calli.
S'il vous plaît, quel résultat on obtient si $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ avec $f$ borné et décroissant (est-ce qu'on considère deux cas $a^-$ et $a^+$ ?)
Merci. -
Oui, regarde le $\inf$ et $\sup$ de chaque côté de $a$
-
Donc $\lim_{x\to a^-} f(x)=\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)$, $\lim_{x\to a^+}f(x)=\sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)$ ?
-
Il ne faut pas prendre le sup et l'inf sur |R tout entier, mais sur la région à gauche de a et celle à droite de a.
-
Donc:
$\lim_{x\to a^-} f(x)=\inf_{x\in ]-\infty, a[} f(x)$
et
$
\lim_{x\to a^-} f(x)=\sup_{x\in ]a,+\infty[} f(x)
$
ou $f$ est bornée et décroissante -
Oui, mais à nouveau il ne sert à rien de supposer $f$ bornée.
-
s'il n'ai pas borné alors les limites peuvent être infinie
-
Non car par décroissance : $\displaystyle +\infty> \inf_{x\in ]-\infty, a[}f(x)\geqslant f(a) >-\infty$ et de même à droite de a (la première inégalité vient du fait que l'inf est pris sur un ensemble non vide)
-
Mais regardez ce que j'ai trouvé sur un livre.
Soit $(a,b)\in (\overline{\mathbb{R}})^2$ tel que $a<b,$ $\ f:\ ]a,b[\,\to \mathbb{R}$, une application croissante.
1) Si $f$ est majorée, alors $f$ admet une limite finie en $b$ et $ \lim\limits_b f=\sup\limits_{x\in]a,b[}f$
2) Si $f$ n'est pas majorée, alors $f$ admet $+\infty$ pour limite en $b$. -
Parce que dans ton dernier message $f$ n'est pas définie en $b$. Mais dans le cas qu'on étudie, $f(a)$ existe et est finie. Ça contraint la fonction à être bornée au voisinage de $a$.
-
est ce que ce dernier résultat est plus général que le premier ?
-
S'il vous plaît pour le cas $f$ croissant j'ai trouvé 3 théorèmes.
1) Soient $a\in \mathbb{R}, b\in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ avec : $a<b$ et $f:[a,b[\ \to\mathbb{R}$ une fonction croissante.
(i) la limite $\lim_{a^+}f$ existe et est finie. Plus précisément : $f(a)\leq \lim_{a^+}f$
(ii) Pour tout $c\in\,]a,b[$, $\lim_{c^-}f$ et $\lim_{c^+} f$ existent et sont finies. Plus précisément: $\lim_{c^-} f\leq f(c)\leq \lim_{c^+}f$.
(iii) La limite $\lim_b f$ existe et est soit finie soit égale à $+\infty$.
2)Soit $(a,b)\in (\overline{\mathbb{R}})^2$ tel que $a<b,$ $\ f:\ ]a,b[\,\to \mathbb{R}$, une application croissante.
1) Si $f$ est majorée, alors $f$ admet une limite finie en $b$ et $ \lim\limits_b f=\sup\limits_{x\in]a,b[}f$
2) Si $f$ n'est pas majorée, alors $f$ admet $+\infty$ pour limite en $b$.
3)Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ borné et croissante, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)=
\sup_{x\in\mathbb{R}} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)= \inf_{x\in\mathbb{R}} f(x).$
S'il vous plaît, y a-t-il un théorème qui résume tout les cas ?
Merci. -
Bonsoir,
Soit $f$ une fonction croissante d’un intervalle $I$ dans $\mathbb{R}$ et $a\in \bar{\mathbb{R}}$.
Alors,
$\lim\limits_{a^-} f= \sup f(I\cap ]-\infty,a[)$ si $a$ est adhérent à $I\cap ]-\infty,a[$.
$\lim\limits_{a^+} f= \inf f(I\cap ]a,+\infty[)$ si $a$ est adhérent à $I\cap ]a,+\infty[$.
Quatre remarques:
1) On ne « résume » pas un théorème, on le généralise, quand et comme on peut.
2) Pour $f$ décroissante, il est facile d’adapter en inversant habilement ce qu’il convient d’inverser.
3) En fait, on n’est pas obligé de travailler avec un intervalle, cela marche avec toute autre partie.
4) Comme te l’a dit Poirot, tu vois qu’on se fiche de la bornitude.
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