Exercice sur les suites

Shadows Asgard
Shadows Asgard
dans Analyse
Bonjour, je suis bloqué pour la question 5)c)i) de cet exercice, je ne vois pas du tout comment procéder pour démontrer l'égalité.
Comment dois-je procéder quand j'ai une question de ce type?
Merci d'avance pour votre réponse94956

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Une récurrence te sortira d'affaire !
  • Goleon
    Goleon
    Salut,

    Pas de récurrence !!! Tu écris $v_{n+1} = 1-u_{n+1}$ et tu utilises la relation $u_{n+1} = \frac{1+u_n^2}{2}$ etc
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Ah oui merci Goleon j'ai trouvé ! En effet je ne voyais pas comment aboutir pour l'hérédité dans la récurrence.
    Et par contre pour la question suivante je ne vois pas non plus partir dans ce genre de question.
    J'avais pensé partir d'une égalité et ensuite sommer la relation, mais malheureusement la relation que je trouve a le signe de l'inégalité dans le mauvais sens.
    Comment puis-je faire ?94962
  • Goleon
    Goleon
    Peut-être utiliser la question 5a !
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Ok merci.
    Et pour la question 5)c)iv) je ne vois pas comment montrer l'inégalité.
    J'ai essayé d'étudier la fonction (1/(2-x))-(1/2)-x/2 mais ça me donne une fonction décroissante puis croissante sur [0;1] avec un minimum qui vaut (2sqrt(2)-3)/2 qui est compris entre -1/2 et 1/2 donc rien de très concluant...
    Comment doit-on s'y prendre pour ce type de question ?94966
  • Goleon
    Goleon
    Salut,

    C'est une bonne idée que tu as ! Tu as presque fini, il suffit maintenant de calculer $f(0)$ et $f(1)$ où $f$ est la fonction $x \mapsto \frac{1}{2-x}-\frac{1}{2}-\frac{x}{2}$.

    Mais il y a plus simple ICI, je te donne une autre possibilité après quand tu auras fini ta méthode !

    Question : Comment as tu trouvé $\frac{2\sqrt{2}-3}{2}$ en rouge sur ta feuille ?
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Ok merci.
    J'ai obtenu cette valeur en calculant f(2-sqrt(2)).94992
  • Goleon
    Goleon
    Ok !

    Donc plus simple ICI, tu veux montrer que $x \mapsto \frac{1}{2-x}-\frac{1}{2}-\frac{x}{2}$ est une fonction négative sur $[0,1]$. Il s'agit juste de calculer :
    $$
    \frac{1}{2-x}-\frac{1}{2}-\frac{x}{2} =\frac{2- (x+1)(2-x)}{2(2-x)} = \frac{x(x-1)}{2(2-x)} \qquad \text{vérifie}
    $$
    Et tu peux faire un tableau de signe directement !
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    D'accord merci.
    Et par contre Goleon voyez-vous comment faire la 5)c)vi) svp ?
  • Goleon
    Goleon
    On peut utiliser la 5c.4 et 5c.5.

    L'idée c'est le "télescopage" : $$

    \frac{1}{v_n} = \left( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{v_{k+1}}-\frac{1}{v_k} \right)+\frac{1}{v_1}

    $$ Ensuite 5c4 et … 5c5. c'est du calcul !
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Mais je part de quoi comme inégalité ?
  • Goleon
    Goleon
    Je ne sais pas répondre à ta question :-D Enfin à l'écrit je ne peux pas t'expliquer plus ! Y a bien quelqu'un qui prendra le relais !
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    C'est bon en fait merci j'ai trouvé.95000
    95002
  • side
    side
    supp
  • Goleon
    Goleon
    Bien joué, t'as compris (tu)
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Merci ^^
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