Isomorphisme sur l'espace de Schwartz

Celmar2Ceaumar · January 2020

Bonjour tout le monde,
il y a deux points que je ne percute pas dans cette preuve a priori très facile.

1) La forme de $\mathcal S$ spécifie que la fonction devant les dérivées successives de $f$ est $1+| x|^2$. Or dans la preuve de mon cours j'ai l'impression qu'on peut réduire l'espace de Schwartz $\mathcal S$ en vérifiant simplement l'inégalité avec la fonction $| x|$ (qui elle décroit beaucoup moins vite...).

2) Et même si c'est le cas on sait simplement que $x^k \partial ^\alpha f <+ \infty$. On n'a a priori pas la fonction dans $L_{1}$.

Merci pour votre aide et bonne journée ! 94984

Poirot · January 2020

Si tu sais que $|\xi|^{k+2} \hat{f}(\xi)$ est bornée et continue, alors en particulier $|\xi|^k\hat{f}(\xi) = O(|\xi|^{-2})$ au voisinage des infinis et donc est $L^1$.

Pour ta première question, c'est la même chose, ce qui compte c'est que ce soit vrai pour tout $k$. La quantité $(1+|x|^2)$ au lieu de $|x|$ tout seul est simplement là pour avoir l'intégrabilité au voisinage de $0$ de $(1+|x|^2)^{-1}$, mais ça ne change rien puisque l'on suppose les fonctions continues donc localement intégrable.

Riemann_lapins_cretins · January 2020

Pas x ou (1 + x^2), mais tout ça à la puissance k !
Il faut se convaincre que c'est équivalent, que ça revient à dire aussi que f et toutes ses dérivées sont négligeables face aux polynômes.

Pour ta deuxième question tu as l'égalité f = o(|x|^-n) pour tout n !

Ne te fige pas seulement à un k fixé. C'est vrai pour tout k donc tu peux dire mieux que "x^k fois f est fini en l'infini", il suffit de regarder le cran d'après pour dire mieux : "x^k fois f tend vers 0 en l'infini".
Et donc "x^k fois f est o(x^-2) donc ma fonction est bien dans L^1".

Celmar2Ceaumar · January 2020

merci pour vos réponses.

Poirot si j'ai ce que tu as j'ai simplement la fonction dans $L^1_{loc}$. Donc ça me parait faux de dire qu'en prenant $f \in \mathcal S$ alors $x^k f \in L_{1}$. On a seulement $x^k f \in L_{1}(K) ,$ $\forall K$ compact. Mais cela est suffisant pour dire qu'on peut y définir la transformée de Fourier.

Merci Riemann_lapins_cretins je comprends. C'est d'ailleurs ce qu'écrivait Poirot. Il suffit de transposer $k$ par $k+2$. Seulement on aura toujours la fonction dans $L_{1}$ localement. Mais je crois que c'est suffisant pour y définir sa transformée de Fourier.

[Joseph Fourier (1768-1830) mérite, en toutes occasions, le respect de son patronyme. AD]

Poirot · January 2020

Hein ? La fonction est $L^1_{loc}$ car continue, puis finalement $L^1$ car dominée par $\xi \mapsto |\xi|^{-2n}$ par exemple au voisinage de l'infini. Dans mon précédent message j'ai fait comme si on était sur $\mathbb R$, c'est pour ça que je me suis contenté de $|\xi|^{-2}$.

Celmar2Ceaumar · January 2020

Oui je parlais simplement du passage de $L^1 _{loc}$ à $L^1$.

side · January 2020

supp

Poirot · January 2020

@Celmar2Ceaumar : Je ne comprends pas ta réponse.

Celmar2Ceaumar · January 2020

Mon texte dit que que la fonction est dans $L^1$ et donc ... Tu as simplement montré que la fonction est dans $L^1_{loc}$. Mais en fait ça n'a pas d'importance.

Celmar2Ceaumar · January 2020

side c'est justement toute ma question ... :-) et donc comment ce choix se justifie ? Et bien c'est qu'à mon avis la fonction est simplement dans $L^1 _{loc}$ mais c'est suffisant pour y définir sa transformée de Fourier et conclure.

side · January 2020

supp

Celmar2Ceaumar · January 2020

Mon texte me dit que comme $x^k f$ est finie alors cette fonction est dans $L^1$. Je demandais pourquoi donc ? Tout le monde me répond "bah oui tu peux voir qu'avec $k:=k+2$ la fonction est négligeable devant $x^-2$. Donc cette même fonction est bien localement dans $L^1$. En fait partout sauf sur un voisinage de $0$. Je vous dis merci. Seulement a priori une fonction localement intégrable n'est pas intégrable. Donc je ne vois pas en quoi ça répond à mon problème. C'est simplement ce que je soulignais. Mais je me trompe peut-être quelque part.

C'est donc bien ça ma question : comment mon professeur passe-t-il de $L^1{loc}$ à $L^1$.