Isomorphisme sur l'espace de Schwartz
dans Analyse
Bonjour tout le monde,
il y a deux points que je ne percute pas dans cette preuve a priori très facile.
1) La forme de $\mathcal S$ spécifie que la fonction devant les dérivées successives de $f$ est $1+| x|^2$. Or dans la preuve de mon cours j'ai l'impression qu'on peut réduire l'espace de Schwartz $\mathcal S$ en vérifiant simplement l'inégalité avec la fonction $| x|$ (qui elle décroit beaucoup moins vite...).
2) Et même si c'est le cas on sait simplement que $x^k \partial ^\alpha f <+ \infty$. On n'a a priori pas la fonction dans $L_{1}$.
Merci pour votre aide et bonne journée !
il y a deux points que je ne percute pas dans cette preuve a priori très facile.
1) La forme de $\mathcal S$ spécifie que la fonction devant les dérivées successives de $f$ est $1+| x|^2$. Or dans la preuve de mon cours j'ai l'impression qu'on peut réduire l'espace de Schwartz $\mathcal S$ en vérifiant simplement l'inégalité avec la fonction $| x|$ (qui elle décroit beaucoup moins vite...).
2) Et même si c'est le cas on sait simplement que $x^k \partial ^\alpha f <+ \infty$. On n'a a priori pas la fonction dans $L_{1}$.
Merci pour votre aide et bonne journée !
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Réponses
Pour ta première question, c'est la même chose, ce qui compte c'est que ce soit vrai pour tout $k$. La quantité $(1+|x|^2)$ au lieu de $|x|$ tout seul est simplement là pour avoir l'intégrabilité au voisinage de $0$ de $(1+|x|^2)^{-1}$, mais ça ne change rien puisque l'on suppose les fonctions continues donc localement intégrable.
Pas x ou (1 + x^2), mais tout ça à la puissance k !
Il faut se convaincre que c'est équivalent, que ça revient à dire aussi que f et toutes ses dérivées sont négligeables face aux polynômes.
Pour ta deuxième question tu as l'égalité f = o(|x|^-n) pour tout n !
Ne te fige pas seulement à un k fixé. C'est vrai pour tout k donc tu peux dire mieux que "x^k fois f est fini en l'infini", il suffit de regarder le cran d'après pour dire mieux : "x^k fois f tend vers 0 en l'infini".
Et donc "x^k fois f est o(x^-2) donc ma fonction est bien dans L^1".
Poirot si j'ai ce que tu as j'ai simplement la fonction dans $L^1_{loc}$. Donc ça me parait faux de dire qu'en prenant $f \in \mathcal S$ alors $x^k f \in L_{1}$. On a seulement $x^k f \in L_{1}(K) ,$ $\forall K$ compact. Mais cela est suffisant pour dire qu'on peut y définir la transformée de Fourier.
Merci Riemann_lapins_cretins je comprends. C'est d'ailleurs ce qu'écrivait Poirot. Il suffit de transposer $k$ par $k+2$. Seulement on aura toujours la fonction dans $L_{1}$ localement. Mais je crois que c'est suffisant pour y définir sa transformée de Fourier.
[Joseph Fourier (1768-1830) mérite, en toutes occasions, le respect de son patronyme. AD]
C'est donc bien ça ma question : comment mon professeur passe-t-il de $L^1{loc}$ à $L^1$.
Ta fonction est continue sur $\mathbb R^n$ et $O(|\xi|^{-2n})$ donc elle est $L^1(\mathbb R^n)$.