Limite
Bonsoir, on me demande de calculer la limite de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}.e^{\frac{1}{x(1-x)}}$ en $0$ et $1$
Moi à mon niveau, j'ai commencé par déterminer un équivalent de cette fonction au voisinage de $0$
je trouve $f(x) \sim -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$
Considérons alors la fonction $g$ définie par $g(x)= -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$
Posons $t=\frac{1}{x}$. Ainsi, quand $x$ tend vers $0^{+}$ , on a $t$ qui tend vers $+\infty$,
Alors $g(x)=g(\frac{1}{t})=-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e$, et par croissance comparées, on a $lim(g)=0$.
De même je raisonne dans le cas où $x$ tend vers $0^{-}$.
Mais je ne comprends pas les étapes de la correction càd :
-pourquoi on passe par le logarithme pour le calcul de limite ici?
-et l'autre étape en rouge dans l'image
-pourquoi ma limite en $0^{+}$ est fausse?
Merci d'avance pour votre aide.
Moi à mon niveau, j'ai commencé par déterminer un équivalent de cette fonction au voisinage de $0$
je trouve $f(x) \sim -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$
Considérons alors la fonction $g$ définie par $g(x)= -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$
Posons $t=\frac{1}{x}$. Ainsi, quand $x$ tend vers $0^{+}$ , on a $t$ qui tend vers $+\infty$,
Alors $g(x)=g(\frac{1}{t})=-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e$, et par croissance comparées, on a $lim(g)=0$.
De même je raisonne dans le cas où $x$ tend vers $0^{-}$.
Mais je ne comprends pas les étapes de la correction càd :
-pourquoi on passe par le logarithme pour le calcul de limite ici?
-et l'autre étape en rouge dans l'image
-pourquoi ma limite en $0^{+}$ est fausse?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Tu t'es trompé pour la limite quand $t\to+\infty$ de $-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e$
c'est plutôt $+\infty$
Du coup , pourquoi le correcteur préfère utiliser la fonction $ln$ et la fonction valeur absoule?
Le passage au logarithme est habituel quand on étudie l'asymptotique de quelque chose du type $g(x)\cdot e^{h(x)}$. C'est assez pratique de faire comme ça en général. Même si en l'occurrence ta technique marche aussi.
Edit : Et on prend le logarithme de la valeur absolue car on peut appliquer le logarithme qu'à des trucs positifs.
Tout simplemant parce que ça lui fait plaisir…
ok @gb.
Si on se donne une fonction $f$ définie par $f(x)=u(x)e^{v(x)}$, où $u$ s'annule en un point $a$ de son ensemble de définition.
Peut-on conclure que le signe de $f$ au voisinage du point $a$ est celui de $u$ ?
De même si $v$ s'annule en $b$, que le signe de $f$ est celui de $u(b).v$ ?
Merci d'avance pour votre compréhension.
Je ne comprends pas, $ue^v$ est du signe $u$ partout...donc en particulier sur tout voisinage de tout point de $D_f$.
Ou alors je ne comprends pas ce que tu demandes...
Du coup j'aimerais savoir le signe de la fonction $f$ même cette voici au voisinage de $b$? ce que je dis plus haut est-elle correcte?
Remarque que le fait que $v$ s'annule n'est pas significatif et n'a aucune conséquence. En effet, si $v(b)=0$ et si je pose $V:x\mapsto v(x)+1$ et $U:x\mapsto u(x)\cdot e^{-1}$, alors $u(x)e^{v(x)}=U(x)e^{V(x)}$ pour tout $x$ et $V(b)\neq 0$.
tu n'as pas besoin d'équivalents analytiques pour déterminer les limites demandées lorsque $x$ tend vers $0$ alors limite de $f = - \lim x^3\lim e^{1/x}$ pour $x$ tendant vers $0^+$ la limite de $f$ sera $-\infty$ (en effet l'exponentielle impose sa limite infinie mais $- x^3$ impose son signe).
Pour $x$ tendant vers $0^-$ alors la limite sera $0^+$ (même remarque).
Lorsque $x$ tend vers $1$ alors limite de $f = \lim\frac{1}{x-1}\lim e^{\frac{1}{1-x}}$ pour $x$ tendant vers $1^+$ alors la limite de $ f$ sera $0^+$ (en effet l'exponentielle impose sa limite nulle et $x - 1$ reste positif).
Pour $x$ tendant vers $1^-$ alors la limite de $f$ sera $-\infty$ (en effet la première limite est $-\infty$ et la seconde est $+\infty$).
Cordialement.