Limite

Gon
Gon
dans Analyse
Bonsoir, on me demande de calculer la limite de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}.e^{\frac{1}{x(1-x)}}$ en $0$ et $1$

Moi à mon niveau, j'ai commencé par déterminer un équivalent de cette fonction au voisinage de $0$

je trouve $f(x) \sim -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$

Considérons alors la fonction $g$ définie par $g(x)= -x^{3}.e^{\frac{1}{x}}.e$

Posons $t=\frac{1}{x}$. Ainsi, quand $x$ tend vers $0^{+}$ , on a $t$ qui tend vers $+\infty$,

Alors $g(x)=g(\frac{1}{t})=-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e$, et par croissance comparées, on a $lim(g)=0$.

De même je raisonne dans le cas où $x$ tend vers $0^{-}$.

Mais je ne comprends pas les étapes de la correction càd :

-pourquoi on passe par le logarithme pour le calcul de limite ici?
-et l'autre étape en rouge dans l'image
-pourquoi ma limite en $0^{+}$ est fausse?

Merci d'avance pour votre aide.95004

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Tu t'es trompé pour la limite quand $t\to+\infty$ de $-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e$
  • Gon
    Gon
    Ah oui merci @Calli. je n'avais pas fait attention.

    c'est plutôt $+\infty$

    Du coup , pourquoi le correcteur préfère utiliser la fonction $ln$ et la fonction valeur absoule?
  • Calli
    Calli
    Non, pas tout à fait. Fais attention, justement...
  • Gon
    Gon
    le $+\infty$ c'est pour la limite de $\frac{1}{t^{3}}.e^{t}$
  • Gon
    Gon
    stp @calii, peux-tu m'expliquer pourquoi l'auteur passe par $ln$ et la valeur absolue
  • Calli
    Calli
    Oui, du coup $-\frac{1}{t^{3}}.e^{t}.e \xrightarrow[t\to+\infty]{}-\infty$.
    Le passage au logarithme est habituel quand on étudie l'asymptotique de quelque chose du type $g(x)\cdot e^{h(x)}$. C'est assez pratique de faire comme ça en général. Même si en l'occurrence ta technique marche aussi.
    Edit : Et on prend le logarithme de la valeur absolue car on peut appliquer le logarithme qu'à des trucs positifs.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Tout simplemant parce que ça lui fait plaisir…
  • Gon
    Gon
    ok merci @calli , l'utilisation de la valeur absolue ici est pour stabilisé(j'entends par là, rendre la fonction positive) le signe de $f$, je veux dire pour que le $lnf$ ait un sens.

    ok @gb.
  • Gon
    Gon
    Bonsoir, j'aimerais savoir s'il est possible de généraliser une notion que j'ai vue dans un exercice dont voici le lien sur le forum Limite.

    Si on se donne une fonction $f$ définie par $f(x)=u(x)e^{v(x)}$, où $u$ s'annule en un point $a$ de son ensemble de définition.
    Peut-on conclure que le signe de $f$ au voisinage du point $a$ est celui de $u$ ?
    De même si $v$ s'annule en $b$, que le signe de $f$ est celui de $u(b).v$ ?

    Merci d'avance pour votre compréhension.
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    Je ne comprends pas, $ue^v$ est du signe $u$ partout...donc en particulier sur tout voisinage de tout point de $D_f$.
    Ou alors je ne comprends pas ce que tu demandes...
  • Gon
    Gon
    @Ama, oui tu as raison, désolé (ce que tu dis repose essentiellement sur le fait que la fonction exponentielle est positive sur son ensemble de définition).

    Du coup j'aimerais savoir le signe de la fonction $f$ même cette voici au voisinage de $b$? ce que je dis plus haut est-elle correcte?
  • Poirot
    Poirot
    On dirait que tu n'as pas intégré que le signe de $f$ est le signe de $u$ partout puisque l'exponentielle est toujours positive. Pourtant tu l'as écrit. En particulier le signe de $v$ n'intervient jamais dans les considérations sur le signe de $f$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Remarque que le fait que $v$ s'annule n'est pas significatif et n'a aucune conséquence. En effet, si $v(b)=0$ et si je pose $V:x\mapsto v(x)+1$ et $U:x\mapsto u(x)\cdot e^{-1}$, alors $u(x)e^{v(x)}=U(x)e^{V(x)}$ pour tout $x$ et $V(b)\neq 0$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir
    tu n'as pas besoin d'équivalents analytiques pour déterminer les limites demandées lorsque $x$ tend vers $0$ alors limite de $f = - \lim x^3\lim e^{1/x}$ pour $x$ tendant vers $0^+$ la limite de $f$ sera $-\infty$ (en effet l'exponentielle impose sa limite infinie mais $- x^3$ impose son signe).
    Pour $x$ tendant vers $0^-$ alors la limite sera $0^+$ (même remarque).

    Lorsque $x$ tend vers $1$ alors limite de $f = \lim\frac{1}{x-1}\lim e^{\frac{1}{1-x}}$ pour $x$ tendant vers $1^+$ alors la limite de $ f$ sera $0^+$ (en effet l'exponentielle impose sa limite nulle et $x - 1$ reste positif).
    Pour $x$ tendant vers $1^-$ alors la limite de $f$ sera $-\infty$ (en effet la première limite est $-\infty$ et la seconde est $+\infty$).
    Cordialement.
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