Développement limité

mehdi · January 2020

Bonjour,
Soit f une fonction admettant un développement limité à l'ordre n en 0.
Est-ce que f est n-fois dérivable au voisinage de 0 ?
Merci beaucoup.

Calli · January 2020

Bonsoir,
C'est vrai pour $n=0$ et $n=1$ mais faux au-delà. Je crois que $f:t\mapsto \cos(t) + t^3\sin(1/t)$ est un contre-exemple pour $n=2$.

Gon · January 2020

Non pas du tout.

Soit $n$ un entier non nul.
la fonction $f$ définie par $x^{n+1}\sin(\frac{1}{x^{n}})$ si $x \neq 0$ et 0 si $x=0$ admet un développement limité car $f(x)=o(x^{n})$ en 0, mais cette fonction n'est même pas de classe $C^{1}$

Amathoué · January 2020

Attien, tu es un peu HS.
Qui demande à ce que $f$ soit $C^1$? Ta fonction est bien dérivable en $0$...et Calli a raison.

P. · January 2020

Un developpement limite d'ordre $n$ de $f$ au voisinage de zero est un polynome $P$ de degre $\leq n$ tel que $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-P(x)}{x^n}=0.$$ Cette definition entraine que $P$ est unique et, si $P$ existe alors $f$ est derivable en zero jusqu'a l'ordre $n-1.$

Calli · January 2020

@Amathoué, je ne vois pas le problème avec la réponse d'Attien. $$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left[x^{n+1}\sin\left(\frac{1}{x^{n}}\right)\right] = (n+1)x^{n}\sin\left(\frac{1}{x^{n}}\right) + x^{n+1} \frac{-n}{x^{n+1}} \cos\left(\frac{1}{x^{n}}\right) =o(1) -n \cos\left(\frac{1}{x^{n}}\right)$$ n'a pas de limite en $0$, donc $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$ alors qu'elle a un DL d'ordre $n$. Il est intéressant ce contre-exemple ; je le préfère au mien.

@P., d'où sort ton résultat ? Il semble en contradiction avec la fonction d'Attien.

P. · January 2020

J'ai en effet ecrit une sottise. Derivee il y a a l'ordre 1, pas plus.

side · January 2020

supp

Amathoué · January 2020

Calli,

Oui, par rapport à la question initiale en effet tu as raison! En fait, je pensais qu’il écrivait « non pas du tout » suite à ton message(« vrai pour $n=0$ et $1$) et je ne voyais pas le rapport.