Inclusion des Lp

Bonjour,
je ne me suis jamais trop soucié de ça et maintenant avec l'espace de Schwartz ça bloque.

On note $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Il est bien connu si $p \le q$ alors $L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)$. Maintenant on sait aussi que si $q<p<\infty$ alors $L^p(\mathbb{R}^n) \cap L^q(\mathbb{R}^n)$ est complet pour $\mid \mid . \mid \mid _{p} + \mid \mid . \mid \mid _{q}$. On est bien d'accord que cette fois on parle d'intersection et il n'y a pas inclusion de l'un dans l'autre seulement à cause de l'inégalité strict sur $p$ et $q$ ?